As densidades da água líquida e do gelo são respectivamente 0,9998 e 0,917 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Calcule \Delta \mathrm{H} e \Delta \mathrm{U} para a solidificação de um mol de água a 0^{\circ} \mathrm{C} e 1 bar, sabendo que o calor de fusão da água a 0^{\circ} \mathrm{C} e 1 bar é 6020 \mathrm{~J} / \mathrm{mol}.
R. \boldsymbol{\Delta} \mathbf{H} \boldsymbol{=} \mathbf{- 6 0 2 0 ~ J} \boldsymbol{;} \boldsymbol{\Delta} \mathbf{U} \boldsymbol{\approx} \mathbf{- 6 0 2 0 ~ J}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as variações de entalpia e de energia interna ao solidificar um mol de água a 0^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{bar}. Os dados fornecidos são:
  • Densidade da água líquida: \rho_{\ell}=0,9998\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}} (dado do enunciado).
  • Densidade do gelo: \rho_{s}=0,917\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}} (dado do enunciado).
  • Calor de fusão (melting) da água a 0^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{bar}: \Delta H_{\text{fus}} = 6020\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}} (dado do enunciado).
  • Quantidade de substância: n=1\\ \mathrm{mol}.
  • Pressão: P=1\\ \mathrm{bar}=10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    O que se pede:
  • \Delta H para a solidificação (ou seja, mudança de estado líquido \to sólido) de 1 mol de água nas condições acima.
  • \Delta U para esse mesmo processo.

Passo 2

Entendendo o sinal e o significado de \Delta H fornecido:
  • O calor de fusão \Delta H_{\text{fus}}=6020\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}} refere-se ao processo de fusão (sólido \to líquido). Isso significa que, para derreter 1 mol de gelo a 0^\circ\mathrm{C} sob 1\\ \mathrm{bar}, é necessário fornecer +6020\\ \mathrm{J}.
  • A solidificação é o processo inverso (líquido \to sólido). Portanto, a variação de entalpia para solidificação de 1 mol é o negativo do calor de fusão:
\Delta H = -\,\Delta H_{\text{fus}} = -6020\\ \mathrm{J}.
Explicando um pouco: \Delta H (variação de entalpia) em processo a pressão constante equivale ao calor trocado com a vizinhança, com o sinal padrão (liberação de calor \Rightarrow \Delta H<0; absorção \Rightarrow \Delta H>0).

Passo 3

Relação entre \Delta U e \Delta H:
  • A entalpia é definida por H=U+PV, onde U é a energia interna, P a pressão e V o volume.
  • Tomando variações, tem-se
\Delta H = \Delta U + \Delta(PV).
  • Se a pressão é constante ( P constante), então \Delta(PV)=P\,\Delta V. Assim, isolando \Delta U,
\Delta U = \Delta H - P\,\Delta V.
Aqui: \Delta V = V_{\text{final}}-V_{\text{inicial}}. No processo de solidificação, o volume final é o volume molar do gelo e o inicial é o volume molar da água líquida.

Passo 4

Cálculo dos volumes molares a partir das densidades (mostrando unidades e conversões):
  • Molar mass da água: M=18,015\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}} (valor usado rotineiramente).
  • Volume molar (em \mathrm{cm^{3}}) obtido por V=\dfrac{M}{\rho}.
    • Volume do líquido:
    V_{\ell}=\frac{18,015\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}}{0,9998\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}}=18,0186\\ \mathrm{cm^{3}\\ mol^{-1}}.
    • Volume do gelo:
    V_{s}=\frac{18,015\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}}{0,917\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}}=19,6510\\ \mathrm{cm^{3}\\ mol^{-1}}.
  • Diferença de volume molar (em \mathrm{cm^{3}}):
\Delta V_{\text{cm}^3}=V_{s}-V_{\ell}=19,6510-18,0186=1,6324\\ \mathrm{cm^{3}\\ mol^{-1}}.
  • Converter para \mathrm{m^{3}} (pois 1\\ \mathrm{cm^{3}}=10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}}):
\Delta V = 1,6324\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}\\ mol^{-1}}.

Passo 5

Cálculo de P\,\Delta V (em joules) e \Delta U:
  • Usando P=10^{5}\\ \mathrm{Pa},
P\,\Delta V = 10^{5}\\ \mathrm{Pa}\times 1,6324\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}} = 0,16324\\ \mathrm{J}.
  • Agora usar \Delta U = \Delta H - P\,\Delta V. Como \Delta H=-6020\\ \mathrm{J},
\Delta U = -6020\\ \mathrm{J} - 0,16324\\ \mathrm{J} = -6020,16324\\ \mathrm{J}.
  • Interpretação: P\,\Delta V é muito pequeno (cerca de 0,16\\ \mathrm{J}) comparado com 6020\\ \mathrm{J}, portanto a diferença entre \Delta U e \Delta H é desprezível para a precisão usual; por isso frequentemente se diz \Delta U\approx\Delta H neste caso.

Passo 6

Arredondamentos e conclusão numérica prática:
  • Mantendo a mesma precisão fornecida no enunciado, pode-se escrever
\Delta H = -6020\\ \mathrm{J}, \qquad \Delta U \approx -6020,16\\ \mathrm{J}\approx -6020\\ \mathrm{J}.
  • Comentário motivador: veja como a conta é simples — a maior parte do trabalho foi converter densidades em volumes molares e lembrar da relação H=U+PV. Está indo bem!

Resposta

\Delta H = -6020\\ \mathrm{J}
\Delta U \approx -6020\\ \mathrm{J}

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