Um densímetro flutua na água, como indicado em “A”. Seu peso total é 0,14 \mathrm{~N}. Sendo o diâmetro de sua haste igual a 8 mm , determinar:
\mathrm{O} valor h_{2} (em cm ) quando o densímetro é imerso em um líquido com densidade relativa 0,8 (situação “C”)

Passo 1

O enunciado dá: um densímetro de peso total 0,14 N flutua em água ( \delta=1), de modo que a marca “1.0” fique exatamente ao nível do líquido. A haste cilíndrica tem diâmetro 8 mm. Queremos determinar h_{2} (em cm), que é o aprofundamento adicional da mesma marca quando o densímetro flutua num líquido de densidade relativa \,0,8. Vamos aplicar o princípio de Arquimedes, que diz que o peso do corpo é igual ao peso do fluido deslocado.

Passo 2

Calculamos a massa do densímetro a partir de seu peso:
m = \frac{W}{g} = \frac{0,14}{9,8} \approx 0,0142857\text{ kg}.

Passo 3

Volume deslocado quando flutua em água ( \delta=1) é
V_{1} = \frac{m}{\rho_{\rm água}} = \frac{0,0142857}{1000} \approx 1,4286 \times 10^{-5}\text{ m}^3.á

Passo 4

No líquido de densidade relativa \delta=0,8, temos \rho = 0,8\,\rho_{\rm água}á. O volume deslocado necessário passa a ser
V_{2} = \frac{m}{0,8\,\rho_{\rm água}} = \frac{V_{1}}{0,8} = 1,25\,V_{1}.á
Logo o aumento de volume deslocado é
\Delta V = V_{2} - V_{1} = \bigl(\tfrac{1}{0,8}-1\bigr)\,V_{1} = 0,25\,V_{1}.

Passo 5

A área da seção da haste cilíndrica é
A = \frac{\pi d^{2}}{4} = \frac{\pi (8\times10^{-3})^{2}}{4} = \pi \cdot 16\times10^{-6} \approx 5,0265\times10^{-5}\text{ m}^2.

Passo 6

O aprofundamento h_{2} da marca satisfaz
\Delta V = A\,h_{2} \quad\Longrightarrow\quad h_{2} = \frac{\Delta V}{A} = \frac{0,25\,V_{1}}{A}.
Substituindo valores numéricos:
h_{2} = \frac{0,25 \times 1,4286\times10^{-5}}{5,0265\times10^{-5}} \approx 0,07106\text{ m}.
Convertendo para centímetros:
h_{2}\approx 7,11\text{ cm}.

Resposta

h_{2}\approx 7{,}11\text{ cm}

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