Um paralelepípedo de seção quadrada \mathbf{a}=\mathbf{1 0 m} e comprimento de \mathbf{b}=\mathbf{2 a}=\mathbf{2 0 m} constituído de duas metades de densidades diferentes ( \delta_{1}=1,0 e \delta_{2}=0,4 ), flutua em água ( \delta_{3}=1,0 ) conforme indicado. Calcular:
a) A profundidade da parte submersa do flutuante (y);
b) Posição do centro de gravidade G
c) A altura metacêntrica e a estabilidade do flutuante a pequenas oscilações.

Passo 1

O enunciado dá um paralelepípedo de seção quadrada de lado a=10\,\text{m} e comprimento b=2a=20\,\text{m}, constituído em fatias horizontais: a metade inferior tem densidade \delta_{1}=1{,}0, a superior \delta_{2}=0{,}4, e tudo flutua em água de densidade \delta_{3}=1{,}0. Vamos usar:
– Princípio de Arquimedes para achar a profundidade submersa y.
– Centro de gravidade de corpo estratificado em duas camadas.
– Metacentro para estabilidade (altura metacêntrica GM).

Passo 2

Peso do flutuante: cada metade tem volume V_{i}=(a^{2}b)/2, logo
W = g\bigl(\delta_{1}V_{1} + \delta_{2}V_{2}\bigr) = g\,\frac{a^{2}b}{2}\,(\delta_{1}+\delta_{2}).
Deslocamento de água (empuxo):
E = g\,\delta_{3}\,(a\,y\,b).
Em equilíbrio W=E, com \delta_{3}=1, resulta
a\,y = \frac{a^{2}b}{2}\,(\delta_{1}+\delta_{2})\big/(b) \;\Longrightarrow\; y = a\,\frac{\delta_{1}+\delta_{2}}{2} =10\,\frac{1{,}0+0{,}4}{2}=7{,}0\,\text{m}.

Passo 3

Centro de gravidade G do corpo estratificado: eixo vertical z com origem no fundo do bloco. Metade inferior (densidade \delta_{1}) tem centro em z_{1}=a/4; metade superior (densidade \delta_{2}) em z_{2}=3a/4. Como V_{1}=V_{2},
z_{G} =\frac{\delta_{1}z_{1}+\delta_{2}z_{2}}{\delta_{1}+\delta_{2}} =\frac{1{,}0\cdot\frac{a}{4}+0{,}4\cdot\frac{3a}{4}}{1{,}0+0{,}4} =\frac{0{,}25a+0{,}30a}{1{,}4} =0{,}392857\,a\approx3{,}93\,\text{m}.

Passo 4

Centro de bojeância B: para prisma submerso de altura y, está em
z_{B}=\frac{y}{2}=\frac{7{,}0}{2}=3{,}5\,\text{m}.
Momento de inércia da área do plano de água (dimensões a\times b) em torno do eixo longitudinal:
I=\frac{b\,a^{3}}{12}.
Volume submerso V=a\,y\,b. A distância metacêntrica acima de B é
BM=\frac{I}{V} =\frac{\frac{b\,a^{3}}{12}}{b\,a\,y} =\frac{a^{2}}{12\,y} =\frac{10^{2}}{12\cdot7{,}0}\approx1{,}1905\,\text{m}.

Passo 5

Altura metacêntrica GM (positiva = estável):
BG = z_{G}-z_{B}=3{,}9286-3{,}5=0{,}4286\,\text{m}, \quad GM = BM - BG =1{,}1905-0{,}4286=0{,}7619\,\text{m}.
Como GM>0, o flutuante é estável a pequenas oscilações.

Resposta

a) y=7{,}0\,\text{m}.
b) G a 3{,}93\,\text{m} acima do fundo.
c) BM=1{,}1905\,\text{m}, GM=0{,}7619\,\text{m}; flutuante está estável.

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