Um densímetro flutua na água, como indicado em “A”. Seu peso total é 0,14 \mathrm{~N}. Sendo o diâmetro de sua haste igual a 8 mm , determinar:
O valor h_{1} (em cm) quando o densímetro é imerso em um líquido com densidade relativa 1,3 (situação “B”);

Passo 1

O densímetro de peso total P=0,14\\ \mathrm{N} flutua em água de densidade \rho_{\rm água}=1{,}0\times10^3\\ \mathrm{kg/m^3}á fazendo com que o nível do líquido alcance a marca “1.0” na haste. A haste tem diâmetro d=8\\ \mathrm{mm}. Queremos achar o afastamento h_1 — distância vertical entre a marca “1.0” e o nível do líquido — quando o mesmo densímetro flutua num líquido de densidade relativa \delta=1{,}3, ou seja \rho_{\rm líq}=1{,}3\times10^3\\ \mathrm{kg/m^3}í.

Passo 2

Pela Princípio de Arquimedes, o empuxo iguala o peso:
E = P = \rho\,g\,V_{\rm sub},
onde V_{\rm sub} é o volume total imerso. Esse volume é a soma do volume fixo do bulbo, V_b, mais o volume de haste submersa, A\,L, com
A=\pi\Bigl(\frac{d}{2}\Bigr)^2
área da seção da haste e L o comprimento imerso da haste.

Passo 3

Chamando de L_0 o comprimento imerso da haste em água (situação A) e de L_B o comprimento imerso no líquido densidade \rho_{\rm líq}í (situação B), temos
V_b + A\,L_0 = \frac{P}{\rho_{\rm água}\,g}, \quad V_b + A\,L_B = \frac{P}{\rho_{\rm líq}\,g}.áí
Subtraindo membro a membro, elimina-se V_b e obtém-se
L_0 - L_B = \frac{P}{A\,g}\Bigl(\frac{1}{\rho_{\rm água}} - \frac{1}{\rho_{\rm líq}}\Bigr).áí
Mas h_1 é justamente esse decréscimo de imersão:
h_1 = L_0 - L_B = \frac{P}{A\,g}\Bigl(\frac{1}{\rho_{\rm água}} - \frac{1}{\rho_{\rm líq}}\Bigr).áí

Passo 4

Calculamos os valores numéricos:
massa do densímetro
m = \frac{P}{g} = \frac{0,14}{9,8}\approx0,0142857\\ \mathrm{kg},
área da haste
A = \pi\Bigl(\frac{0,008}{2}\Bigr)^2 = \pi\,(0,004)^2\approx5,0265\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2},
e as densidades
\rho_{\rm água}=1{,}0\times10^3\\ \mathrm{kg/m^3}á,
\rho_{\rm líq}=1{,}3\times10^3\\ \mathrm{kg/m^3}í.

Passo 5

Substituindo em
h_1 = \frac{m}{A}\Bigl(\frac{1}{\rho_{\rm água}} - \frac{1}{\rho_{\rm líq}}\Bigr)áí
temos
h_1 = \frac{0,0142857}{5,0265\times10^{-5}}\Bigl(\frac{1}{1000}-\frac{1}{1300}\Bigr) \approx0,0657\\ \mathrm{m} =6,57\\ \mathrm{cm}.

Resposta

h_{1}\approx6{,}6\\ \mathrm{cm}.

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