O enunciado pede: dentre as opções (a), (b), (c) e (d), qual conjunto é uma base para M_{2}(\mathbb{R}).
As informações fornecidas (peguei diretamente os vetores das opções):
(a) conjunto com 3 matrizes:\left\{\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]0&0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}1&2\\[2pt]1&0\end{pmatrix}\right\}.
(b) conjunto com 4 matrizes:\left\{\begin{pmatrix}2&1\\[2pt]0&0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&0\\[2pt]1&1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix}\right\}.
(c) conjunto com 4 matrizes:\left\{\begin{pmatrix}1&2\\[2pt]0&1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}2&4\\[2pt]0&2\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&0\\[2pt]1&1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix}\right\}.
(d) conjunto com 4 matrizes:\left\{\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&1\\[2pt]0&0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}1&1\\[2pt]0&0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&0\\[2pt]1&1\end{pmatrix}\right\}.
O que é pedido: determinar qual desses conjuntos é base para M_{2}(\mathbb{R}).]
Passo 2
Breve lembrete didático sobre o que é uma base (pra você entender na hora da prova):
Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que é linearmente independente e que gera (faz o span) de todo o espaço.
No caso de M_{2}(\mathbb{R}) (matrizes 2\times2 reais), cada matriz pode ser identificada com um vetor em \mathbb{R}^{4} usando a ordem, por exemplo,\begin{pmatrix}a&b\\[2pt]c&d\end{pmatrix}\longleftrightarrow (a,b,c,d).Portanto \dim(M_2(\mathbb{R}))=4.
Consequência muito útil: qualquer conjunto com menos de 4 vetores NÃO pode ser base; qualquer conjunto com exatamente 4 vetores é base se, e só se, for linearmente independente (ou equivalentemente, se gerar o espaço).]
Passo 3
Aplicando a observação imediata à opção (a):
A opção (a) tem apenas 3 matrizes. Como \dim(M_2(\mathbb{R}))=4, um conjunto de apenas 3 vetores não pode ser base (não consegue gerar todo o espaço).
Logo (a) está descartada.
Passo 4
Analisando a opção (c) para dependência linear:
Observe que a segunda matriz da (c) é exatamente 2 vezes a primeira:\begin{pmatrix}2&4\\[2pt]0&2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1&2\\[2pt]0&1\end{pmatrix}.
Dois vetores (ou matrizes) colineares indicam dependência linear do conjunto (pois um é múltiplo do outro).
Portanto o conjunto (c) é linearmente dependente e não é base.]
Note que C=A+B. Logo C é combinação linear de A e B, então o conjunto é linearmente dependente.
Portanto (d) não é base.]
Passo 6
Restou (b). Agora vamos verificar se o conjunto (b) é uma base, testando independência linear (espero que você não fique com medo de sistemas — é só equacionar coordenadas):
Pegue coeficientes \alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}\) e imponha que a combinação linear dá a matriz nula:
\[\alpha\begin{pmatrix}2&1\\[2pt]0&0\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&0\end{pmatrix} +\gamma\begin{pmatrix}0&0\\[2pt]1&1\end{pmatrix} +\delta\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&0\\[2pt]0&0\end{pmatrix}.
Escrevendo por entradas (usando a identificação (a,b,c,d) para as entradas (11,12,21,22)) obtemos o sistema de equações:
Da segunda equação: \beta=-\alpha\].
- Da terceira: \(\gamma=-\beta=-(-\alpha)=\alpha.
- Da quarta: \delta=-\gamma=-\alpha.
- Substituindo na primeira: 2\alpha+\delta=2\alpha+(-\alpha)=\alpha=0.
- Logo \alpha=0. Então \beta=-\alpha=0, \gamma=\alpha=0, \delta=-\alpha=0.
Conclusão: a única solução é \alpha=\beta=\gamma=\delta=0. Isso prova que os 4 vetores (matrizes) da opção (b) são linearmente independentes.]
Passo 7
Como \dim(M_2(\mathbb{R}))=4 e o conjunto da opção (b) tem 4 vetores linearmente independentes, ele forma uma base de M_2(\mathbb{R}). Portanto (b) é uma base.