Dentre os conjuntos a seguir, qual é base para o M_{2}(\mathbb{R}) ?
Escolha uma opção:
a.
B=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right]\right\}

b.
B=\left\{\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]\right\}

c.
B=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 2 & 4 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]\right\}

d.
B=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado pede: dentre as opções (a), (b), (c) e (d), qual conjunto é uma base para M_{2}(\mathbb{R}).
As informações fornecidas (peguei diretamente os vetores das opções):
  • (a) conjunto com 3 matrizes: \left\{\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]0&0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}1&2\\[2pt]1&0\end{pmatrix}\right\}.
  • (b) conjunto com 4 matrizes: \left\{\begin{pmatrix}2&1\\[2pt]0&0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&0\\[2pt]1&1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix}\right\}.
  • (c) conjunto com 4 matrizes: \left\{\begin{pmatrix}1&2\\[2pt]0&1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}2&4\\[2pt]0&2\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&0\\[2pt]1&1\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix}\right\}.
  • (d) conjunto com 4 matrizes: \left\{\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&1\\[2pt]0&0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}1&1\\[2pt]0&0\end{pmatrix},\; \begin{pmatrix}0&0\\[2pt]1&1\end{pmatrix}\right\}.
O que é pedido: determinar qual desses conjuntos é base para M_{2}(\mathbb{R}).]

Passo 2

Breve lembrete didático sobre o que é uma base (pra você entender na hora da prova):
  • Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que é linearmente independente e que gera (faz o span) de todo o espaço.
  • No caso de M_{2}(\mathbb{R}) (matrizes 2\times2 reais), cada matriz pode ser identificada com um vetor em \mathbb{R}^{4} usando a ordem, por exemplo, \begin{pmatrix}a&b\\[2pt]c&d\end{pmatrix}\longleftrightarrow (a,b,c,d).Portanto \dim(M_2(\mathbb{R}))=4.
  • Consequência muito útil: qualquer conjunto com menos de 4 vetores NÃO pode ser base; qualquer conjunto com exatamente 4 vetores é base se, e só se, for linearmente independente (ou equivalentemente, se gerar o espaço).]

Passo 3

Aplicando a observação imediata à opção (a):
  • A opção (a) tem apenas 3 matrizes. Como \dim(M_2(\mathbb{R}))=4, um conjunto de apenas 3 vetores não pode ser base (não consegue gerar todo o espaço).
  • Logo (a) está descartada.

Passo 4

Analisando a opção (c) para dependência linear:
  • Observe que a segunda matriz da (c) é exatamente 2 vezes a primeira: \begin{pmatrix}2&4\\[2pt]0&2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1&2\\[2pt]0&1\end{pmatrix}.
  • Dois vetores (ou matrizes) colineares indicam dependência linear do conjunto (pois um é múltiplo do outro).
  • Portanto o conjunto (c) é linearmente dependente e não é base.]

Passo 5

Analisando a opção (d) para dependência linear:
  • Denote A=\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]0&0\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]0&0\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}0&0\\[2pt]1&1\end{pmatrix}.
  • Note que C=A+B. Logo C é combinação linear de A e B, então o conjunto é linearmente dependente.
  • Portanto (d) não é base.]

Passo 6

Restou (b). Agora vamos verificar se o conjunto (b) é uma base, testando independência linear (espero que você não fique com medo de sistemas — é só equacionar coordenadas):
Pegue coeficientes \alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R}\) e imponha que a combinação linear dá a matriz nula: \[\alpha\begin{pmatrix}2&1\\[2pt]0&0\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]1&0\end{pmatrix} +\gamma\begin{pmatrix}0&0\\[2pt]1&1\end{pmatrix} +\delta\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&0\\[2pt]0&0\end{pmatrix}.
Escrevendo por entradas (usando a identificação (a,b,c,d) para as entradas (11,12,21,22)) obtemos o sistema de equações:
\begin{cases} 2\alpha+\delta=0,\\[4pt] \alpha+\beta=0,\\[4pt] \beta+\gamma=0,\\[4pt] \gamma+\delta=0. \end{cases}
Vou resolver passo a passo:
  • Da segunda equação: \beta=-\alpha\]. - Da terceira: \(\gamma=-\beta=-(-\alpha)=\alpha.
    - Da quarta: \delta=-\gamma=-\alpha.
    - Substituindo na primeira: 2\alpha+\delta=2\alpha+(-\alpha)=\alpha=0.
    - Logo \alpha=0. Então \beta=-\alpha=0, \gamma=\alpha=0, \delta=-\alpha=0.
Conclusão: a única solução é \alpha=\beta=\gamma=\delta=0. Isso prova que os 4 vetores (matrizes) da opção (b) são linearmente independentes.]

Passo 7

Como \dim(M_2(\mathbb{R}))=4 e o conjunto da opção (b) tem 4 vetores linearmente independentes, ele forma uma base de M_2(\mathbb{R}). Portanto (b) é uma base.

Resposta

b.

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