Sabendo que o ponto P=(5, m, n) pertence à reta que passa pelos pontos A=(2,3,-4) e B=(-1,-2,3), determinar m e n.
Escolha uma oppʒ̃o:
◯ a. m=-17 e n=24
◯ b. m=8 e n=-11
◯ c. m=13 \mathrm{e} n=-18
◯ d. m=18 e n=-25
◯ e. m=-12 e n=17

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(2,3,-4), B=(-1,-2,3) e o ponto P=(5,m,n). A pergunta é: determinar os valores de m e n sabendo que P pertence à reta que passa por A e B.
Informações relevantes fornecidas:
  • Coordenadas de A: primeira componente 2, segunda 3, terceira -4.
  • Coordenadas de B: primeira componente -1, segunda -2, terceira 3.
  • Coordenadas de P: primeira componente 5, segunda m (desconhecida), terceira n (desconhecida).
    O objetivo é achar m e n.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (passo-a-passo do que significa estar na mesma reta): uma reta que passa por um ponto A e tem direção dada pelo vetor \vec{d} pode ser escrita em forma paramétrica como
\vec{r}(t)=\vec{A}+t\vec{d},
onde t é um parâmetro real, \vec{A} é o vetor posição do ponto A e \vec{d} é o vetor diretor da reta. Aqui \vec{d} é obtido subtraindo as coordenadas: \vec{d}=\vec{B}-\vec{A}. Cada coordenada da reta satisfaz as equações paramétricas
x = x_A + t\,d_x,\qquad y = y_A + t\,d_y,\qquad z = z_A + t\,d_z.
Explicando simples: isso significa que, a partir de A, anda-se uma fração t do vetor que vai de A a B; variando t percorre-se a reta.

Passo 3

Calcular o vetor diretor \vec{d}=\vec{B}-\vec{A}. Subtraindo coordenada a coordenada (peguei as coordenadas de A e B do enunciado):
\vec{d} = (-1-2,\; -2-3,\; 3-(-4)) = (-3,\; -5,\; 7).
Então as equações paramétricas da reta são
x = 2 + t(-3),\qquad y = 3 + t(-5),\qquad z = -4 + t(7).
Aqui t é o parâmetro que identifica pontos da reta.

Passo 4

Usar a coordenada x do ponto P para determinar t. Como P tem x=5, igualamos:
2 + t(-3) = 5.
Resolver para t:
-3t = 5-2 = 3 \quad\Rightarrow\quad t = -1.
Portanto o parâmetro que leva de A até o ponto com x=5 é t=-1.

Passo 5

Encontrar m e n substituindo t=-1 nas equações para y e z.
Calcular y:
y = 3 + (-1)(-5) = 3 + 5 = 8.
Calcular z:
z = -4 + (-1)(7) = -4 - 7 = -11.
Assim os valores correspondentes às coordenadas segunda e terceira de P são m=8 e n=-11.

Resposta

b. m=8 e n=-11

Exercícios relacionados