Determine o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} que satisfaz o que se pede T tem autovalores 3,-1 e 0 , com autoespaços W_{3}=<(2,1,1)>, W_{-1}=<(0,-1,1)>\mathrm{e} W_{0}=\langle(-1,1,1)\rangle
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei diretamente do enunciado):
Autovalores: \,3,\,-1,\,0.
Autovetores (geradores dos autoespaços):
W_{3}=\langle (2,1,1)\rangle, ou seja o autovetor associado a \,3 é v_{1}=(2,1,1).
W_{-1}=\langle (0,-1,1)\rangle, ou seja o autovetor associado a -1 é v_{2}=(0,-1,1).
W_{0}=\langle (-1,1,1)\rangle, ou seja o autovetor associado a 0 é v_{3}=(-1,1,1).
O que se pede:
Determinar o operador linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} que tem esses autovalores e esses autoespaços. Na prática, vamos dar a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^{3}.
Passo 2
Ideia do método (sem complexidade): se os três autovetores são linearmente independentes, eles formam uma base \mathcal{B}=(v_{1},v_{2},v_{3}). Na base \mathcal{B} a matriz de T é diagonal
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e P é invertível. Podemos aplicar A=PDP^{-1}.]
Passo 3
Calcular P^{-1}. Vou usar a fórmula P^{-1}=\dfrac{1}{\det(P)}\operatorname{adj}(P) (adjugada), mostrando os passos dos cofatores para ficar bem didático.
Calcule os cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} onde M_{ij} é o determinante do menor que remove a linha i e coluna j.
Agora calcular A=PDP^{-1}. Para facilitar, primeiro calculo B=D\,P^{-1} (multiplicação diagonal escala as linhas de P^{-1} pelos autovalores correspondentes):
Finalmente A=P B. Em vez de multiplicar full, é prático observar que as colunas de A são combinações lineares das colunas de P com coeficientes iguais às entradas das colunas de B. As colunas de P são v_{1},v_{2},v_{3}. Então:
Coluna 1 de B é \begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}, portanto coluna 1 de A é 1\cdot v_{1}+0\cdot v_{2}+0\cdot v_{3}=v_{1}=(2,1,1).
Coluna 2 de B é \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[2pt]\tfrac{1}{2}\\[2pt]0\end{pmatrix}, portanto coluna 2 de A é \tfrac{1}{2}v_{1}+\tfrac{1}{2}v_{2}= \tfrac{1}{2}\big((2,1,1)+(0,-1,1)\big)= (1,0,1).
Coluna 3 de B é \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[2pt]-\tfrac{1}{2}\\[2pt]0\end{pmatrix}, portanto coluna 3 de A é \tfrac{1}{2}v_{1}-\tfrac{1}{2}v_{2}= \tfrac{1}{2}\big((2,1,1)-(0,-1,1)\big)= (1,1,0).
Agrupando as colunas obtemos a matriz de T na base canônica: