Dentre as expressōes abaixo, considerando omega a frequência de oscilaçāo e x a variável que indica posiçāo, qual é a expressāo que representa o potencial do oscilador harmônico quântico de uma partícula de massa m?
a. V(x)=12 omega x
b. V(x)=12 m omega^2 x^2
c. V(x)=12 m omega x
d. V(x)=12 omega^2 x
e. V(x)=12 m omega x^2

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver essa questão que pede para identificar qual das expressões dadas representa o potencial do oscilador harmônico quântico para uma partícula de massa $ m $. A matéria envolvida aqui é a mecânica quântica, especificamente o estudo dos osciladores harmônicos. Para resolver, vamos precisar entender como é a expressão do potencial energético nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um oscilador harmônico quântico. Ele é um modelo fundamental na física que descreve partículas que se movem ao redor de um ponto de equilíbrio, como um pêndulo ou uma mola. A energia potencial $ V(x) $ desse sistema depende da posição $ x $ da partícula.

Passo 3

A fórmula geral para o potencial de um oscilador harmônico clássico é:
V(x) = 12 k x^2
Aqui, $ k $ é a constante elástica da mola. Porém, na mecânica quântica, expressamos essa constante em termos da frequência angular $ \omega $ e da massa $ m $ da partícula. A relação entre $ k $, $ \omega $ e $ m $ é:
k

Passo 4

Substituindo $ k $ na fórmula do potencial, temos:
k
Essa é a expressão que representa o potencial energético de um oscilador harmônico quântico. Ela mostra que o potencial é proporcional ao quadrado da posição $ x $ e depende da massa $ m $ e do quadrado da frequência $ \omega $.

Passo 5

Agora, vamos analisar as alternativas oferecidas na questão:
a. $ V(x) = \frac{1}{2} \omega x $ – Aqui, falta a massa e o $ x $ não está ao quadrado.
b. $ V(x) = \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} $ – Essa corresponde exatamente à nossa fórmula derivada!
c. $ V(x) = \frac{1}{2} m \omega x $ – Faltou o $ \omega $ estar ao quadrado e o $ x $.
d. $ V(x) = \frac{1}{2} \omega^{2} x $ – Falta a massa e o $ x $ não está ao quadrado.
e. $ V(x) = \frac{1}{2} m \omega x^{2} $ – Falta o $ \omega $ estar ao quadrado.

Resposta

A alternativa b. $ V(x) = \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} $ é a que representa o potencial do oscilador harmônico quântico.

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