Um elétron está aprisionado em um potencial de um oscilador harmônico quântico, a energia do estado fundamental é 3,1 eV. Qual é o maior comprimento de onda de um fóton que pode ser emitido por uma transição entre dois estados deste poço?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre um elétron preso em um potencial de oscilador harmônico quântico. A gente sabe que a energia do estado fundamental desse sistema é 3,1 eV. A pergunta é: qual é o maior comprimento de onda de um fóton que pode ser emitido quando o elétron faz uma transição entre dois estados diferentes desse poço?

Passo 2

Primeiro, vamos entender que em um oscilador harmônico quântico, as energias dos estados são quantizadas e seguem a fórmula:
En = (n + 12)hbaromega
Aqui, En é a energia do estado n, hbar é a constante de Planck reduzida, e omega é a frequência angular do oscilador.

Passo 3

Sabemos que a energia do estado fundamental ( n=0) é 3,1 eV. Aplicando na fórmula:
E0 = (0 + 12)hbaromega = 12hbaromega = 3,1 , eV
Isso nos ajuda a encontrar hbaromega:
hbaromega = 2 times 3,1 , eV = 6,2 , eV

Passo 4

O maior comprimento de onda corresponde à menor diferença de energia entre dois estados. No caso do oscilador harmônico, a menor diferença é entre o estado n=0 e n=1, que é exatamente hbaromega:
De

Passo 5

Para encontrar o comprimento de onda ( lambda) do fóton emitido nessa transição, usamos a relação entre energia e comprimento de onda:
E = hclambda
Onde:
  • E é a energia do fóton,
  • h é a constante de Planck ( 4,135667696 times 10^-15 , eV·s),
  • c é a velocidade da luz ( 3 times 10^8 , m/s).
Rearranjando a fórmula para encontrar lambda:
lambda = hcE

Passo 6

Substituindo os valores:
lambda = 4,135667696 times 10^-15 , eV·s times 3 times 10^8 , m/s6,2 , eV approx 2 times 10^-7 , m = 200 , nm

Resposta

O maior comprimento de onda do fóton emitido é aproximadamente 200 nm.

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