Dentre os números complexos z=a+b i, não nulos, que têm argumento igual a \frac{\pi}{4} aquele cuja representação geométrica está sobre a parábola y=x^{2} é:
Escolha uma opção:
\bigcirc a. z=1-i
\bigcirc b. z=1+i
\bigcirc c. z=\sqrt{2}+2 i
\bigcirc d. z=-\sqrt{2}+2 i
\bigcirc e. z=-1+i

Passo 1

O enunciado dá um número complexo z=a+bi (não nulo) que tem argumento igual a \frac{\pi}{4} e cuja representação geométrica (o ponto (a,b)) está sobre a parábola y=x^{2}. A pergunta é: entre as opções dadas, qual é o z que satisfaz essas condições?
Informações relevantes fornecidas:
  • z=a+bi é não nulo.
  • \arg(z)=\frac{\pi}{4}.
  • O ponto (a,b) pertence à parábola y=x^{2}, isto é, b=a^{2}.
  • Precisamos escolher entre as opções: z=1-i, z=1+i, z=\sqrt{2}+2i, z=-\sqrt{2}+2i, z=-1+i.

Passo 2

Entendendo o que significa \arg(z)=\frac{\pi}{4}.
A argumentação de um número complexo z=a+bi é o ângulo que o vetor do ponto (a,b) faz com o eixo x. Quando a\neq 0 e estamos no primeiro quadrante ( a>0, b>0), vale a relação
\tan(\arg(z))=\frac{b}{a}.
Como \arg(z)=\frac{\pi}{4}, temos \tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1. Logo, para um z com esse argumento (no primeiro quadrante),
\frac{b}{a}=1 \quad\Rightarrow\quad b=a.
Também é importante notar que \arg(z)=\frac{\pi}{4} indica que a>0 e b>0 (primeiro quadrante), então os sinais de a e b são positivos.

Passo 3

Usando a condição da parábola y=x^{2}.
Pelo enunciado, o ponto (a,b) está sobre y=x^{2}, ou seja
b=a^{2}.

Passo 4

Combinar as duas relações b=a (do argumento) e b=a^{2} (da parábola).
Igualando:
a = a^{2}.
Rearranjando:
a^{2}-a=0
a(a-1)=0.

Passo 5

Resolver e eliminar soluções inválidas.
Da fatoração a(a-1)=0 obtemos as soluções a=0 ou a=1.
  • Se a=0, então b=a=0. Isso daria z=0, mas o enunciado exige que z seja não nulo, e além disso \arg(0) é indefinido. Logo a=0 é descartado.
  • Restando a=1. Como b=a, temos b=1.
Portanto o ponto é (a,b)=(1,1) e o número complexo é
z=1+i.

Passo 6

Verificação rápida nas condições e comparação com as opções.
Verificação:
  • Está sobre a parábola? b=a^{2}\Rightarrow 1=1^{2} — sim.
  • Tem argumento \frac{\pi}{4}? O quociente \frac{b}{a}=\frac{1}{1}=1=\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right) e a>0,b>0 — sim.
Entre as opções dadas, isso corresponde à alternativa (b).

Resposta

b. z=1+i

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