Dadas as funções implícitas, determine as derivadas especificadas:
\cos (x-y) x e^{y} ; \quad \frac{d y}{d x}

Passo 1

O enunciado dá uma relação implícita entre x e y. Vou trabalhar com a forma mais natural dessa relação que corresponde ao texto:
\cos(x-y)=x\,e^{y}.
O que é pedido: determinar \dfrac{d y}{d x} (ou seja, y', a derivada de y em relação a x) a partir dessa equação implícita.
Informações relevantes dadas: a expressão do lado esquerdo é \cos(x-y) e a do lado direito é x\,e^{y}.

Passo 2

Antes de derivar, vamos lembrar duas regras que vamos usar (explicadas de forma bem prática):
Regra 1 — Regra da cadeia: se temos uma função composta \varphi(u(x)), a derivada é
\frac{d}{dx}\varphi(u(x))=\varphi'(u(x))\cdot u'(x).
Exemplo concreto: \dfrac{d}{dx}\cos(u(x))=-\sin(u(x))\cdot u'(x). Aqui -\sin é a derivada de \cos e multiplicamos pela derivada do interior u'(x).
Regra 2 — Regra do produto: se temos f(x)g(x), então
\frac{d}{dx}\big(f(x)g(x)\big)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
Exemplo concreto: para x\cdot e^{y(x)}, trate f(x)=x e g(x)=e^{y(x)}. Então f'(x)=1 e g'(x)=e^{y(x)}\cdot y'(x) (aqui usei também a regra da cadeia para e^{y(x)}).
Também vou usar a notação y'=\dfrac{dy}{dx} para simplificar escrita.

Passo 3

Vamos derivar ambos os lados da igualdade \cos(x-y)=x\,e^{y} em relação a x.
Começando pelo lado esquerdo, apliquei a regra da cadeia com \varphi=\cos e u(x)=x-y(x). Assim
\frac{d}{dx}\big(\cos(x-y)\big)=-\sin(x-y)\cdot\frac{d}{dx}(x-y).
E \dfrac{d}{dx}(x-y)=1-y'. Portanto
\frac{d}{dx}\big(\cos(x-y)\big)=-\sin(x-y)\,(1-y').

Passo 4

Agora o lado direito: x\,e^{y(x)}. Uso a regra do produto com f(x)=x e g(x)=e^{y(x)}. Temos f'(x)=1 e, pela regra da cadeia, g'(x)=e^{y(x)}\cdot y'. Logo
\frac{d}{dx}\big(x\,e^{y}\big)=1\cdot e^{y}+x\cdot\big(e^{y}y'\big)=e^{y}+x e^{y} y'.

Passo 5

Igualando as derivadas dos dois lados (porque derivamos a igualdade original), obtemos
-\sin(x-y)\,(1-y')=e^{y}+x e^{y} y'.

Passo 6

Agora vamos manipular essa equação para isolar y'. Primeiro distribuo o produto no lado esquerdo:
-\sin(x-y)+\sin(x-y)\,y'=e^{y}+x e^{y} y'.
Em seguida trago para um lado todos os termos que contêm y' e para o outro lado os termos sem y'. Assim:
\sin(x-y)\,y' - x e^{y} y' = e^{y} + \sin(x-y).

Passo 7

Fatorando y' no lado esquerdo:
y'\big(\sin(x-y) - x e^{y}\big)=e^{y}+\sin(x-y).
Finalmente, isolando y':
y'=\frac{e^{y}+\sin(x-y)}{\sin(x-y)-x e^{y}}.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{e^{y}+\sin(x-y)}{\sin(x-y)-x e^{y}}

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