Dadas as funções implícitas, determine as derivadas especificadas:
Passo 1
O enunciado dá uma relação implícita entre
e
. Vou trabalhar com a forma mais natural dessa relação que corresponde ao texto:
O que é pedido: determinar
(ou seja,
, a derivada de
em relação a
) a partir dessa equação implícita.
Informações relevantes dadas: a expressão do lado esquerdo é e a do lado direito é
.
Informações relevantes dadas: a expressão do lado esquerdo é
Passo 2
Antes de derivar, vamos lembrar duas regras que vamos usar (explicadas de forma bem prática):
Regra 1 — Regra da cadeia: se temos uma função composta
, a derivada é
Exemplo concreto:
. Aqui
é a derivada de
e multiplicamos pela derivada do interior
.
Regra 2 — Regra do produto: se temos
, então
Exemplo concreto: para
, trate
e
. Então
e
(aqui usei também a regra da cadeia para
).
Também vou usar a notação
para simplificar escrita.
Passo 3
Vamos derivar ambos os lados da igualdade
em relação a
.
Começando pelo lado esquerdo, apliquei a regra da cadeia com
e
. Assim
E
. Portanto
Passo 4
Agora o lado direito:
. Uso a regra do produto com
e
. Temos
e, pela regra da cadeia,
. Logo
Passo 5
Igualando as derivadas dos dois lados (porque derivamos a igualdade original), obtemos
Passo 6
Agora vamos manipular essa equação para isolar
. Primeiro distribuo o produto no lado esquerdo:
Em seguida trago para um lado todos os termos que contêm
e para o outro lado os termos sem
. Assim:
Passo 7
Fatorando
no lado esquerdo:
Finalmente, isolando
: