A forma trigonométrica (ou polar) do número complexo \frac{1-i}{(1+i)^{2}} tem argumento igual a

Passo 1

O enunciado dá o número complexo
\frac{1-i}{(1+i)^{2}}
e pede o argumento desse número complexo.
Informações importantes dadas: o numerador é 1-i e o denominador é (1+i)^{2}.
Pergunta clara: qual é o argumento (ângulo) desse número complexo, em radianos?

Passo 2

Vamos simplificar o denominador (1+i)^{2}. Expandindo:
(1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=1+2i-1=2i.
Portanto o número fica
\frac{1-i}{(1+i)^{2}}=\frac{1-i}{2i}.

Passo 3

Para dividir por 2i é conveniente usar 1/i=-i. Assim
\frac{1}{2i}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{i}=\frac{1}{2}(-i)=-\frac{i}{2}.
Multiplicando:
\frac{1-i}{2i}=\left(1-i\right)\left(-\frac{i}{2}\right)=-\frac{i}{2}+\frac{i^{2}}{2}=-\frac{i}{2}-\frac{1}{2}.
Organizando em forma cartesiana,
z=\frac{1-i}{(1+i)^{2}}=-\frac{1}{2}-\frac{i}{2}.

Passo 4

Interpretação geométrica: z tem parte real x=-\tfrac{1}{2} e parte imaginária y=-\tfrac{1}{2}. Ou seja, o ponto (x,y)=\left(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\right), que está no terceiro quadrante (ambas coordenadas negativas).
Calculamos o módulo r (mesmo que não fosse pedido, ajuda a visualizar a forma trigonométrica):
r=\sqrt{\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}}=\sqrt{\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Agora o argumento \theta=\arg(z). Uma forma prática: calcular \arctan\left(\dfrac{|y|}{|x|}\right) e ajustar pelo quadrante. Aqui
\frac{y}{x}=\frac{-\tfrac{1}{2}}{-\tfrac{1}{2}}=1,
portanto a referência é \arctan(1)=\frac{\pi}{4}.
Como x<0 e y<0, o ponto está no terceiro quadrante. O ângulo que mede a partir do eixo positivo x no sentido anti-horário é
\theta=\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}.
Esse é um valor correto para o argumento. Entretanto, o argumento principal (valor convencionalmente escolhido no intervalo (-\pi,\pi]) para o mesmo ponto é
\theta_{\text{principal}}=-\frac{3\pi}{4},
pois \frac{5\pi}{4} e -\frac{3\pi}{4} representam o mesmo ângulo no círculo trigonométrico.

Passo 6

Resumo didático rápido sobre escolha do ângulo: quando você calcula \arctan(y/x) obtém uma referência; então você deve observar o sinal de x e y para decidir adicionar 0, \pi ou -\pi de forma a colocar o ângulo no quadrante correto. Se o enunciado pede simplesmente “o argumento”, costuma-se usar o argumento principal em (-\pi,\pi], que aqui é -\tfrac{3\pi}{4}. Se aceitarem ângulos fora desse intervalo, \tfrac{5\pi}{4} também é válido.

Resposta

-\dfrac{3\pi}{4}

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