Dentre os números reais
5,3 & -2 & 10000000 & \sqrt{5} & \frac{632}{75} \
0 & \frac{\sqrt{2}}{3} & -8,75 & \sqrt{4} & 125,666 \ldots
indique quais são
inteiros;

Passo 1

O enunciado pede: indicar quais dos números dados são inteiros. Os números fornecidos são (copiados do enunciado):
  • 5,3
  • -2
  • 10000000
  • \sqrt{5}
  • \dfrac{632}{75}
  • 0
  • \dfrac{\sqrt{2}}{3}
  • -8,75
  • \sqrt{4}
  • 125,666\ldots

Passo 2

Definição útil: um número é inteiro quando ele pertence ao conjunto \mathbb{Z}, isto é, quando não tem parte fracionária. Em prática, para verificar se um número é inteiro pode-se:
  • ver se é um decimal sem casas decimais (por exemplo 7, -3 são inteiros; 2,5 não);
  • ver se uma fração \dfrac{a}{b} com a,b inteiros tem resto zero na divisão a\div b;
  • reconhecer raízes quadradas: \sqrt{n} é inteiro somente se n for um quadrado perfeito (por exemplo \sqrt{4}=2, \sqrt{9}=3, mas \sqrt{5} não).

Passo 3

Analisando 5,3.
Escrevendo em forma mista: 5,3 = 5 + 0,3. Como 0,3\neq 0, existe parte fracionária. Portanto 5,3 não é inteiro.

Passo 4

Analisando -2.
-2 é um inteiro negativo; pertence a \mathbb{Z}. Portanto -2 é inteiro.

Passo 5

Analisando 10000000.
É um número natural sem casas decimais, isto é, um inteiro positivo. Portanto 10000000 é inteiro.

Passo 6

Analisando \sqrt{5}.
O número 5 não é um quadrado perfeito (os quadrados perfeitos próximos são 4=2^2 e 9=3^2), logo \sqrt{5} não é inteiro (além disso é irracional). Portanto \sqrt{5} não é inteiro.

Passo 7

Analisando \dfrac{632}{75}.
Faço a divisão inteira: 75\cdot8=600 e 632-600=32. Logo
\dfrac{632}{75}=8+\dfrac{32}{75}.
Há resto \dfrac{32}{75}\neq 0, ou seja há parte fracionária. Portanto \dfrac{632}{75} não é inteiro.

Passo 8

Analisando 0.
Por definição 0\in\mathbb{Z}. Não tem parte fracionária. Portanto 0 é inteiro.

Passo 9

Analisando \dfrac{\sqrt{2}}{3}.
\sqrt{2} é irracional; dividindo por 3 continua não sendo um inteiro (nem racional com denominador 1). Portanto \dfrac{\sqrt{2}}{3} não é inteiro.

Passo 10

Analisando -8,75.
Escrevendo: -8,75=-8-\;0,75. Tem parte fracionária -0,75\neq 0. Portanto -8,75 não é inteiro.

Passo 11

Analisando \sqrt{4}.
Aqui 4 é quadrado perfeito: \sqrt{4}=2. Como 2\in\mathbb{Z}, \sqrt{4} é inteiro.

Passo 12

Analisando 125,666\ldots.
A reticência indica repetição de 6, ou seja 125,666\ldots=125+0,666\ldots. Lembrando que 0,666\ldots=\dfrac{2}{3} (por exemplo, escrevendo x=0,666\ldots tem-se 10x=6,666\ldots e 9x=6\Rightarrow x=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}). Assim
125,666\ldots = 125+\dfrac{2}{3}
tem parte fracionária \dfrac{2}{3}\neq 0. Portanto 125,666\ldots não é inteiro.

Resposta

-2
10000000
0
\sqrt{4}=2

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