Dentre as potências abaixo, quais podemos calcular?
0^{-1}

Passo 1

O enunciado pergunta quais das potências dadas podemos calcular. A única potência fornecida é 0^{-1}. Portanto a pergunta é: podemos calcular 0^{-1} ou não?

Passo 2

Vamos lembrar o que significa um expoente inteiro negativo de modo claro e direto.
Para um número real a diferente de zero, definimos
a^{-1}=\frac{1}{a}.
Isto significa que o expoente -1 indica o recíproco (ou inverso multiplicativo) do número. Essa definição vem da propriedade dos expoentes de que, para a\neq0,
a^{-1}\cdot a = a^{-1+1}=a^0=1.
Aqui cada símbolo significa:
  • a é a base (um número real),
  • -1 é o expoente (indica o inverso),
  • a^{-1} é o número que multiplicado por a 1,
  • a^0 é 1 para a\neq0.

Passo 3

Exemplos concretos para fixar a ideia:
  • 2^{-1}=\dfrac{1}{2}.
  • (-3)^{-1}=\dfrac{-1}{3}.
    Nesses casos tudo faz sentido porque dividimos por um número diferente de zero.

Passo 4

Agora o ponto crucial: divisão por zero é indefinida. Dizer que \dfrac{1}{0} existe seria afirmar que existe algum número x tal que
0\cdot x = 1.
Mas qualquer produto 0\cdot x é 0, nunca pode ser 1. Logo não existe tal x. Por isso \dfrac{1}{0} não está definido nos números reais (nem nos racionais).

Passo 5

Aplicando isso a 0^{-1}: pela definição, se fosse válido escrever 0^{-1} teríamos
0^{-1}=\frac{1}{0},
o que é uma divisão por zero e, portanto, não faz sentido (é indefinido). Outra forma de ver: se existisse x=0^{-1}, então 0\cdot x=1, o que é impossível porque 0\cdot x=0 para todo x.

Passo 6

Conclusão didática e dica para a prova: expoentes negativos significam reciprocidade e exigem que a base seja diferente de zero. Sempre cheque a base antes de aplicar a regra a^{-n}=1/a^n. No caso da base 0, só potências com expoente positivo (por exemplo 0^2=0) são permitidas; expoentes negativos como -1 não são permitidos porque levam a divisão por zero.

Resposta

0^{-1} é indefinido (não pode ser calculado).

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