Dentre as potências abaixo, quais podemos calcular?
Passo 1
O enunciado pergunta quais das potências dadas podemos calcular. A única potência fornecida é
. Portanto a pergunta é: podemos calcular
ou não?
Passo 2
Vamos lembrar o que significa um expoente inteiro negativo de modo claro e direto.
Para um número real
diferente de zero, definimos
Isto significa que o expoente
indica o recíproco (ou inverso multiplicativo) do número. Essa definição vem da propriedade dos expoentes de que, para
,
Aqui cada símbolo significa:
-
é a base (um número real), -
é o expoente (indica o inverso), -
é o número que multiplicado por dá , -
é para .
Passo 3
Exemplos concretos para fixar a ideia:
-
. -
.
Nesses casos tudo faz sentido porque dividimos por um número diferente de zero.
Passo 4
Agora o ponto crucial: divisão por zero é indefinida. Dizer que
existe seria afirmar que existe algum número
tal que
Mas qualquer produto
é
, nunca pode ser
. Logo não existe tal
. Por isso
não está definido nos números reais (nem nos racionais).
Passo 5
Aplicando isso a
: pela definição, se fosse válido escrever
teríamos
o que é uma divisão por zero e, portanto, não faz sentido (é indefinido). Outra forma de ver: se existisse
, então
, o que é impossível porque
para todo
.
Passo 6
Conclusão didática e dica para a prova: expoentes negativos significam reciprocidade e exigem que a base seja diferente de zero. Sempre cheque a base antes de aplicar a regra
. No caso da base
, só potências com expoente positivo (por exemplo
) são permitidas; expoentes negativos como
não são permitidos porque levam a divisão por zero.