Dentre as potências abaixo, quais podemos calcular?
\left(\frac{1}{5}\right)^{0} ?

Passo 1

O enunciado pergunta se podemos calcular a potência \left(\dfrac{1}{5}\right)^{0}. As informações dadas são:
  • A base é \dfrac{1}{5}, que é um número racional e diferente de zero.
  • O expoente é 0, um inteiro.
O que se pede: avaliar se a potência é bem definida e, em caso afirmativo, encontrar o seu valor.

Passo 2

Relembrando a ideia de potência e algumas propriedades fundamentais (aulas rápidas e úteis para a prova).
  • Para um inteiro positivo n e um número a, define-se a^{n} como o produto de n fatores iguais a a: a^{n}=a\cdot a\cdot\ldots\cdot a ( n vezes).
  • A regra das potências que vamos usar é, para a\neq0 e inteiros m,n:
\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.
Essa regra é consequência direta da definição por multiplicação: ao dividir, cancelam-se fatores iguais.

Passo 3

Usando a propriedade anterior para descobrir o que é a^{0}:
  • Pegue m=n na fórmula \dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}. Então o lado esquerdo vira \dfrac{a^{n}}{a^{n}}=1 (desde que a\neq0), e o lado direito vira a^{n-n}=a^{0}. Portanto, para a\neq0,
a^{0}=1.
Importante: \,0^{0}\, é uma expressão indeterminada em muitas situações, então a igualdade acima só vale quando a\neq0.

Passo 4

Aplicando ao caso concreto \left(\dfrac{1}{5}\right)^{0}:
  • A base \dfrac{1}{5} é diferente de zero, então podemos usar a regra a^{0}=1.
  • Logo,
\left(\dfrac{1}{5}\right)^{0}=1.
(Alternativa rápida: escrever \dfrac{1}{5}=5^{-1} e usar (5^{-1})^{0}=5^{-1\cdot 0}=5^{0}=1.)

Passo 5

Resumo didático e motivador: qualquer número diferente de zero elevado à potência zero vale 1. Então sempre que você ver a^{0} com a\neq0, pode responder de pronto que o resultado é 1. Vai dar certo na prova — respira, você consegue!

Resposta

1

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