Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares: T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow M(2,2), T(x, y)=\left(\left[\begin{array}{ll}2 y & 3 x \\\\ -y & x+2 y\end{array}\right]\right)
Passo 1
O enunciado dá a função T:\mathbb{R}^{2}\longrightarrow M(2,2) definida por
A pergunta é: verificar se essa função T é linear (ou seja, se é uma transformação linear).
Informações relevantes que o enunciado dá:
O domínio é \mathbb{R}^2 com vetores escritos como (x,y).
A imagem é o espaço M(2,2) das matrizes 2\times2.
A expressão de T(x,y) fornece cada entrada da matriz como função de x e y.
Passo 2
Definição de transformação linear (a teoria passo a passo, bem mastigada):
Uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(\alpha u)=\alpha\,T(u).
Aqui u e v serão escritos como u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Vou usar essas duas propriedades para testar T. Uma forma alternativa e prática de ver linearidade é mostrar que T(x,y) é combinação linear de x e y sem termos constantes (mostro isso depois).
Passo 3
Verificação da aditividade T(u+v)=T(u)+T(v). Seja u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Primeiro calcule u+v:
T(\alpha u)=\alpha T(u)\quad\text{para todo }\alpha\in\mathbb{R},\\ u\in\mathbb{R}^2.
Passo 5
Interpretação alternativa e construção explícita em termos de combinação linear (ensina um truque útil para a prova):
Se conseguirmos escrever T(x,y) na forma
T(x,y)=xA+yB
onde A e B são matrizes fixas em M(2,2), isso mostra imediatamente linearidade (pois multiplicação por escalar e soma funcionam componente a componente). Vamos separar os termos que multiplicam x e os que multiplicam y em T(x,y):
Denotando A=\begin{pmatrix}0 & 3 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix}2 & 0 \\\\ -1 & 2\end{pmatrix} obtemos T(x,y)=xA+yB. Essa forma confirma de maneira direta que T é combinação linear de x e y sem termos constantes, logo é linear.
Passo 6
Conclusão final baseada nas verificações: verificamos explicitamente as duas propriedades da definição de linearidade e também exibimos a decomposição T(x,y)=xA+yB. Portanto T é uma transformação linear de \mathbb{R}^2 em M(2,2). Você conseguiu — essas verificações são as mesmas que você deve fazer na prova: ou mostra as duas propriedades direto por cálculo, ou exibe a decomposição como combinação linear das coordenadas.