Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow M(2,2), T(x, y)=\left(\left[\begin{array}{ll}2 y & 3 x \\\\ -y & x+2 y\end{array}\right]\right)

Passo 1

O enunciado dá a função T:\mathbb{R}^{2}\longrightarrow M(2,2) definida por
T(x,y)=\begin{pmatrix}2y & 3x \\\\ -y & x+2y\end{pmatrix}.
A pergunta é: verificar se essa função T é linear (ou seja, se é uma transformação linear).
Informações relevantes que o enunciado dá:
  1. O domínio é \mathbb{R}^2 com vetores escritos como (x,y).
  2. A imagem é o espaço M(2,2) das matrizes 2\times2.
  3. A expressão de T(x,y) fornece cada entrada da matriz como função de x e y.

Passo 2

Definição de transformação linear (a teoria passo a passo, bem mastigada):
Uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(\alpha u)=\alpha\,T(u).
Aqui u e v serão escritos como u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Vou usar essas duas propriedades para testar T. Uma forma alternativa e prática de ver linearidade é mostrar que T(x,y) é combinação linear de x e y sem termos constantes (mostro isso depois).

Passo 3

Verificação da aditividade T(u+v)=T(u)+T(v). Seja u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Primeiro calcule u+v:
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Agora aplique T a u+v:
T(u+v)=T(x_1+x_2,\;y_1+y_2) =\begin{pmatrix}2(y_1+y_2) & 3(x_1+x_2) \\\\ -(y_1+y_2) & (x_1+x_2)+2(y_1+y_2)\end{pmatrix}.
Desenvolvendo cada entrada (distribuindo somas):
T(u+v)=\begin{pmatrix}2y_1+2y_2 & 3x_1+3x_2 \\\\ -y_1-y_2 & x_1+x_2+2y_1+2y_2\end{pmatrix}.
Agora calcule T(u)+T(v) separadamente:
T(u)=\begin{pmatrix}2y_1 & 3x_1 \\\\ -y_1 & x_1+2y_1\end{pmatrix},\qquad T(v)=\begin{pmatrix}2y_2 & 3x_2 \\\\ -y_2 & x_2+2y_2\end{pmatrix}.
Somando as matrizes:
T(u)+T(v)=\begin{pmatrix}2y_1+2y_2 & 3x_1+3x_2 \\\\ -y_1-y_2 & x_1+x_2+2y_1+2y_2\end{pmatrix}.
Comparando com T(u+v) vemos que são exatamente iguais. Portanto a aditividade está verificada:
T(u+v)=T(u)+T(v)\quad\text{para todos }u,v.

Passo 4

Verificação da homogeneidade T(\alpha u)=\alpha T(u). Seja u=(x,y) e \alpha\in\mathbb{R}. Primeiro calcule T(\alpha u)=T(\alpha x,\alpha y):
T(\alpha x,\alpha y)=\begin{pmatrix}2(\alpha y) & 3(\alpha x) \\\\ -(\alpha y) & (\alpha x)+2(\alpha y)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\alpha(2y) & \alpha(3x) \\\ \alpha(-y) & \alpha(x+2y)\end{pmatrix}.
Agora calcule \alpha T(u):
\alpha T(x,y)=\alpha\begin{pmatrix}2y & 3x \\\\ -y & x+2y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\alpha(2y) & \alpha(3x) \\\ \alpha(-y) & \alpha(x+2y)\end{pmatrix}.
As duas matrizes coincidem, então
T(\alpha u)=\alpha T(u)\quad\text{para todo }\alpha\in\mathbb{R},\\ u\in\mathbb{R}^2.

Passo 5

Interpretação alternativa e construção explícita em termos de combinação linear (ensina um truque útil para a prova):
Se conseguirmos escrever T(x,y) na forma
T(x,y)=xA+yB
onde A e B são matrizes fixas em M(2,2), isso mostra imediatamente linearidade (pois multiplicação por escalar e soma funcionam componente a componente). Vamos separar os termos que multiplicam x e os que multiplicam y em T(x,y):
T(x,y)=\begin{pmatrix}2y & 3x \\\\ -y & x+2y\end{pmatrix} = x\begin{pmatrix}0 & 3 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}2 & 0 \\\\ -1 & 2\end{pmatrix}.
Denotando A=\begin{pmatrix}0 & 3 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix}2 & 0 \\\\ -1 & 2\end{pmatrix} obtemos T(x,y)=xA+yB. Essa forma confirma de maneira direta que T é combinação linear de x e y sem termos constantes, logo é linear.

Passo 6

Conclusão final baseada nas verificações: verificamos explicitamente as duas propriedades da definição de linearidade e também exibimos a decomposição T(x,y)=xA+yB. Portanto T é uma transformação linear de \mathbb{R}^2 em M(2,2). Você conseguiu — essas verificações são as mesmas que você deve fazer na prova: ou mostra as duas propriedades direto por cálculo, ou exibe a decomposição como combinação linear das coordenadas.

Resposta

T é linear.

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