Dentro do poço infinito, a energia total é puramente cinética, ou seja,
. Disso, conclui-se que
. Agora, tomando a média nesta expressão, ficamos
. Para o primeiro estado excitado de uma partícula em um poço infinito unidimensional, calcule:
©
.
©
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Estamos lidando com uma partícula em um poço infinito unidimensional, onde a energia total é puramente cinética. A questão nos pede para calcular a média da energia, representada por
, no primeiro estado excitado dessa partícula. Para resolver isso, vamos precisar entender as relações entre energia cinética, momento e os estados quânticos da partícula no poço.
Passo 2
Sabemos que a energia cinética total da partícula pode ser expressa de duas maneiras:
Aqui,
é a energia,
é a massa da partícula,
é a velocidade, e
é o momento.
Passo 3
A partir dessa equação, podemos relacionar o quadrado do momento com a energia:
Para encontrar a média dessa relação, tiramos a média em ambos os lados:
Isso nos mostra como a média do quadrado do momento está relacionada com a média da energia.
Passo 4
Agora, precisamos lembrar que em um poço infinito unidimensional, os níveis de energia são quantizados e dados por:
Onde:
-
é a energia do estado , -
é o número quântico (n=1 é o estado fundamental, n=2 é o primeiro estado excitado, etc.), -
é a constante de Planck reduzida, -
é a largura do poço.
Passo 5
Como queremos o primeiro estado excitado, usamos
. Substituindo na fórmula, temos:
Portanto, a energia no primeiro estado excitado é
.
Passo 6
Finalmente, como a média da energia
no estado excitado é simplesmente a energia desse estado, temos:
Resposta
A média da energia no primeiro estado excitado é