Dentro do poço infinito, a energia total é puramente cinética, ou seja, E=m v^2 / 2= p^2 / 2 m. Disso, conclui-se que p^2=2 m E. Agora, tomando a média nesta expressão, ficamos
comlang<= p^2rang<==2 mlang<= Erang<=. Para o primeiro estado excitado de uma partícula em um poço infinito unidimensional, calcule:
© lang<= Erang<=.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Estamos lidando com uma partícula em um poço infinito unidimensional, onde a energia total é puramente cinética. A questão nos pede para calcular a média da energia, representada por lang<= E rang<=, no primeiro estado excitado dessa partícula. Para resolver isso, vamos precisar entender as relações entre energia cinética, momento e os estados quânticos da partícula no poço.

Passo 2

Sabemos que a energia cinética total da partícula pode ser expressa de duas maneiras:
E = 12 m v^2 = p^22m
Aqui, E é a energia, m é a massa da partícula, v é a velocidade, e p é o momento.

Passo 3

A partir dessa equação, podemos relacionar o quadrado do momento com a energia:
p^2 = 2mE
Para encontrar a média dessa relação, tiramos a média em ambos os lados:
lang<= p^2 rang<= = 2m lang<= E rang<=
Isso nos mostra como a média do quadrado do momento está relacionada com a média da energia.

Passo 4

Agora, precisamos lembrar que em um poço infinito unidimensional, os níveis de energia são quantizados e dados por:
En = n^2 pi^2 hbar^22mL^2
Onde:
  • En é a energia do estado n,
  • n é o número quântico (n=1 é o estado fundamental, n=2 é o primeiro estado excitado, etc.),
  • hbar é a constante de Planck reduzida,
  • L é a largura do poço.

Passo 5

Como queremos o primeiro estado excitado, usamos n=2. Substituindo na fórmula, temos:
E2 = 2^2 pi^2 hbar^22mL^2 = 4 pi^2 hbar^22mL^2 = 2 pi^2 hbar^2mL^2
Portanto, a energia no primeiro estado excitado é E2 = 2 pi^2 hbar^2mL^2.

Passo 6

Finalmente, como a média da energia lang<= E rang<= no estado excitado é simplesmente a energia desse estado, temos:
lang<= E rang<= = E2 = 2 pi^2 hbar^2mL^2

Resposta

A média da energia no primeiro estado excitado é
lang<= E rang<= = 2 pi^2 hbar^2mL^2

Exercícios relacionados