Uma partícula de massa
com momentum inicial
, colide com uma partícula de igual massa em repouso. Se o módulo dos momenta finais das duas partículas são
e
respectivamente, mostre que a perda de energia na colisão é dada por
onde
é o ângulo entre as trajetórias das duas partículas após a colisão.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos duas partículas com massa igual,
. A primeira tem um momentum inicial
e colide com a segunda que tá parada. Depois da colisão, as duas partículas têm momenta finais
e
, e o ângulo entre suas trajetórias é
. A gente precisa mostrar que a perda de energia na colisão, chamada
, é dada por:
Pra resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação de momento e energia, além de entender como calcular a energia perdida na colisão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na colisão, o momento total antes da colisão deve ser igual ao momento total depois da colisão, já que não tem forças externas agindo. Como a segunda partícula tá em repouso, o momento inicial total é só o da primeira partícula:
Passo 3
Depois da colisão, temos duas partículas com momentos
e
. A conservação do momento fica assim:
Como são vetores, precisamos considerar as direções. Vamos usar a ideia de componentes para resolver isso, mas vamos simplificar mais adiante.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre a energia cinética. A energia cinética de uma partícula é dada por:
Então, a energia total antes da colisão é:
E a energia total depois da colisão é:
Passo 5
A perda de energia na colisão,
, é a diferença entre a energia inicial e a energia final:
Substituindo as expressões das energias, temos:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão:
Agora, precisamos ligar isso ao ângulo
entre os momentos finais das partículas.
Passo 7
Vamos usar a conservação do momento vetorial. Ao quadrar a equação
, temos:
Rearranjando para encontrar
:
Passo 8
Substituindo essa expressão na fórmula da perda de energia
:
Resposta
A perda de energia na colisão é dada por: