Uma partícula de massa m com momentum inicial p1, colide com uma partícula de igual massa em repouso. Se o módulo dos momenta finais das duas partículas são p^prime 1 e p^prime 2 respectivamente, mostre que a perda de energia na colisão é dada por
Q=p1^prime p^prime 2m cos psi
onde psi é o ângulo entre as trajetórias das duas partículas após a colisão.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos duas partículas com massa igual, m. A primeira tem um momentum inicial p1 e colide com a segunda que tá parada. Depois da colisão, as duas partículas têm momenta finais p^prime1 e p^prime2, e o ângulo entre suas trajetórias é psi. A gente precisa mostrar que a perda de energia na colisão, chamada Q, é dada por:
Q=p1^prime p^prime2m cos psi
Pra resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação de momento e energia, além de entender como calcular a energia perdida na colisão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na colisão, o momento total antes da colisão deve ser igual ao momento total depois da colisão, já que não tem forças externas agindo. Como a segunda partícula tá em repouso, o momento inicial total é só o da primeira partícula:
ptotalinicial = p1

Passo 3

Depois da colisão, temos duas partículas com momentos p^prime1 e p^prime2. A conservação do momento fica assim:
p1 = p^prime1 + p^prime2
Como são vetores, precisamos considerar as direções. Vamos usar a ideia de componentes para resolver isso, mas vamos simplificar mais adiante.

Passo 4

Agora, vamos falar sobre a energia cinética. A energia cinética de uma partícula é dada por:
E = p^22m
Então, a energia total antes da colisão é:
Einicial = p1^22m
E a energia total depois da colisão é:
Efinal = p^prime1^22m + p^prime2^22m

Passo 5

A perda de energia na colisão, Q, é a diferença entre a energia inicial e a energia final:
Q = Einicial - Efinal
Substituindo as expressões das energias, temos:
Q = p1^22m - ( p^prime1^22m + p^prime2^22m )

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão:
Q = p1^2 - p^prime1^2 - p^prime2^22m
Agora, precisamos ligar isso ao ângulo psi entre os momentos finais das partículas.

Passo 7

Vamos usar a conservação do momento vetorial. Ao quadrar a equação p1 = p^prime1 + p^prime2, temos:
p1^2 = p^prime1^2 + p^prime2^2 + 2 p^prime1 p^prime2 cos psi
Rearranjando para encontrar p1^2 - p^prime1^2 - p^prime2^2:
p1^2 - p^prime1^2 - p^prime2^2 = 2 p^prime1 p^prime2 cos psi

Passo 8

Substituindo essa expressão na fórmula da perda de energia Q:
Q = 2 p^prime1 p^prime2 cos psi2m = p^prime1 p^prime2m cos psi

Resposta

A perda de energia na colisão é dada por:
Q=p1^prime p^prime2m cos psi

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