Uma certa partícula quântica é descrita pela seguinte função de onda,
calcule:
(b) A probabilidade de encontrar a partícula na porção positiva da reta real, ou seja, o intervalo
. Dica: Para integrando par vale:
(b) A probabilidade de encontrar a partícula na porção positiva da reta real, ou seja, o intervalo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda que descreve uma partícula quântica:
O que a gente precisa calcular aqui é a probabilidade de encontrar essa partícula na parte positiva da reta real, ou seja, para valores de $ x $ entre 0 e infinito. Para isso, vamos usar conceitos de função de onda e probabilidade na mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de encontrar a partícula em um intervalo é obtida integrando o quadrado da função de onda nesse intervalo. Matematicamente, isso é representado por:
Então, aqui queremos calcular $ P(0 \leq x < \infty) $.
Passo 3
Vamos calcular o quadrado da função de onda $ \psi_{1}(x) $:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, precisamos integrar isso de 0 a infinito para encontrar a probabilidade desejada:
Passo 5
Antes de resolver a integral, vamos lembrar que a função de onda deve ser normalizada, ou seja, a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço deve ser 1:
Isso nos ajuda a determinar o valor de $ A_{1} $.
Passo 6
Vamos usar a dica que foi dada sobre funções pares. Observe que $ |\psi_{1}(x)|^{2} $ é uma função par porque $ x^{2} $ e o expoente são pares. Assim, podemos escrever:
Isso significa que:
Passo 7
Agora, vamos focar na integral:
Onde $ a = \frac{m \omega}{\hbar} $. Sabemos que:
Passo 8
Aplicando isso na nossa equação de normalização:
Substituindo $ a = \frac{m \omega}{\hbar} $:
Simplificando:
Substituindo $ a $:
Passo 9
Portanto, o coeficiente de normalização $ A_{1} $ é:
Passo 10
Agora que temos $ A_{1} $, podemos calcular a probabilidade de encontrar a partícula para $ x \geq 0 $:
Resposta
A probabilidade de encontrar a partícula na porção positiva da reta real é $ \frac{1}{2} $ ou 50%.