Uma certa partícula quântica é descrita pela seguinte função de onda,
psi1(x)=A1 raizm omegahbar x e^-m omega x^2 / 2 hbar
calcule:
(b) A probabilidade de encontrar a partícula na porção positiva da reta real, ou seja, o intervalo 0 <= x. Dica: Para integrando par vale:
integral-b^b fpar(x) d x=2 integral0^b fpar(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda que descreve uma partícula quântica:
psi1(x)=A1 raizm omegahbar, x, e^-m omega x^2 / 2 hbar
O que a gente precisa calcular aqui é a probabilidade de encontrar essa partícula na parte positiva da reta real, ou seja, para valores de $ x $ entre 0 e infinito. Para isso, vamos usar conceitos de função de onda e probabilidade na mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de encontrar a partícula em um intervalo é obtida integrando o quadrado da função de onda nesse intervalo. Matematicamente, isso é representado por:
P(a <= x < b) = integrala^b |psi1(x)|^2 dx
Então, aqui queremos calcular $ P(0 \leq x < \infty) $.

Passo 3

Vamos calcular o quadrado da função de onda $ \psi_{1}(x) $:
psi1(x)
Isso simplifica para:
|psi1(x)|^2 = [A1 raizm omegahbar, x, e^-m omega x^2 / 2 hbar]^2 = A1^2 m omegahbar x^2 e^-m omega x^2 / hbar

Passo 4

Agora, precisamos integrar isso de 0 a infinito para encontrar a probabilidade desejada:
P(0 <= x < infty) = integral0^infty A1^2 m omegahbar x^2 e^-m omega x^2 / hbar dx

Passo 5

Antes de resolver a integral, vamos lembrar que a função de onda deve ser normalizada, ou seja, a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço deve ser 1:
integral-infty^infty |psi1(x)|^2 dx = 1
Isso nos ajuda a determinar o valor de $ A_{1} $.

Passo 6

Vamos usar a dica que foi dada sobre funções pares. Observe que $ |\psi_{1}(x)|^{2} $ é uma função par porque $ x^{2} $ e o expoente são pares. Assim, podemos escrever:
|psi1(x)|^2
Isso significa que:
x^2

Passo 7

Agora, vamos focar na integral:
integral0^infty x^2 e^-a x^2 dx
Onde $ a = \frac{m \omega}{\hbar} $. Sabemos que:
a = m omegahbar

Passo 8

Aplicando isso na nossa equação de normalização:
2 cdot A1^2 m omegahbar cdot raizpi4 a^3/2 = 1
Substituindo $ a = \frac{m \omega}{\hbar} $:
a = m omegahbar
Simplificando:
2 cdot A1^2 m omegahbar cdot raizpi4 (m omegahbar)^3/2 = 1
Substituindo $ a $:
A1^2 = 2 raiza raizpi

Passo 9

Portanto, o coeficiente de normalização $ A_{1} $ é:
A1

Passo 10

Agora que temos $ A_{1} $, podemos calcular a probabilidade de encontrar a partícula para $ x \geq 0 $:
A1

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula na porção positiva da reta real é $ \frac{1}{2} $ ou 50%.

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