Departamento de Matemática
Prova Substitutiva de Cálculo 1
Nome do Aluno:
Escolha quatro das cinco questões abaixo!
Faça as questões abaixo de maneira organizada e legível.
(3) (valor:2,5 pts) Calcule o valor da seguinte integral:
Prova Substitutiva de Cálculo 1
Nome do Aluno:
Escolha quatro das cinco questões abaixo!
Faça as questões abaixo de maneira organizada e legível.
(3) (valor:2,5 pts) Calcule o valor da seguinte integral:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral definida de
no intervalo de 0 até
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração, especificamente a substituição trigonométrica, que é útil quando temos raízes quadradas envolvendo expressões como
.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. Vamos definir:
Essa substituição é útil porque simplifica a expressão dentro da raiz quadrada.
Passo 3
Com
, o diferencial
fica:
Agora, vamos substituir
e
na integral original:
Note que os limites de integração mudaram porque quando
,
, e quando
,
.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora a integral ficou mais simples:
Passo 5
Para integrar
, vamos usar uma identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral:
Resposta
O valor da integral é
.