Departamento de Matemática
Prova Substitutiva de Cálculo 1
Nome do Aluno:
Escolha quatro das cinco questões abaixo!
Faça as questões abaixo de maneira organizada e legível.
(3) (valor:2,5 pts) Calcule o valor da seguinte integral:
integral0^a x^2 raiza^2-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral definida de x^2 raiza^2 - x^2 no intervalo de 0 até a . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração, especificamente a substituição trigonométrica, que é útil quando temos raízes quadradas envolvendo expressões como a^2 - x^2 .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica para simplificar a integral. Vamos definir:
x = a sin theta
Essa substituição é útil porque simplifica a expressão dentro da raiz quadrada.

Passo 3

Com x = a sin theta , o diferencial dx fica:
dx = a cos theta , dtheta
Agora, vamos substituir x e dx na integral original:
integral0^a x^2 raiza^2 - x^2 , dx = integral0^pi/2 (a sin theta)^2 raiza^2 - (a sin theta)^2 cdot a cos theta , dtheta
Note que os limites de integração mudaram porque quando x = 0 , theta = 0 , e quando x = a , theta = pi2 .

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
= a^2 sin^2 theta cdot raiza^2(1 - sin^2 theta) cdot a cos theta , dtheta
= a^2 sin^2 theta cdot a cos theta cdot a cos theta , dtheta
= a^4 sin^2 theta cos^2 theta , dtheta
Agora a integral ficou mais simples:
a^4 integral0^pi/2 sin^2 theta cos^2 theta , dtheta

Passo 5

Para integrar sin^2 theta cos^2 theta , vamos usar uma identidade trigonométrica:
sin^2 theta cos^2 theta = 14 sin^2 2theta = 14 cdot 1 - cos 4theta2 = 18 (1 - cos 4theta)
Substituindo na integral:
a^4 integral0^pi/2 sin^2 theta cos^2 theta , dtheta = a^48 integral0^pi/2 (1 - cos 4theta) , dtheta

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral:
a^48 [ theta - sin 4theta4 ]0^pi/2 = a^48 ( pi2 - 0 ) = a^4 pi16

Resposta

O valor da integral é a^4 pi16 .

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