O departamento de qualidade de uma empresa seleciona, aleatoriamente, alguns itens que chegam à empresa e submete-os a testes. Para avaliar um lote de transformadores de pequeno porte, o departamento de qualidade selecionou, aleatoriamente, 10 transformadores. Ele vai recomendar a aceitação do lote se não existir item defeituoso na amostra. Supondo que o processo produtivo desses transformadores gera um percentual de 3 \% de defeituosos, responda:
a) Qual é a probabilidade de que o lote venha a ser aceito?
b) Ao analisar 8 lotes de transformadores, com amostras aleatórias de 10 itens em cada lote, qual é a probabilidade de que, no máximo, um lote seja rejeitado?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Foi selecionada uma amostra aleatória de 10 transformadores de um lote.
  • A produção tem taxa de defeituosos igual a 3\% (ou seja, probabilidade de um item ser defeituoso é p=0{,}03).
  • Regra de aceitação do lote: aceitar o lote se NÃO existir nenhum item defeituoso na amostra (isto é, nenhum dos 10 for defeituoso).
  • Perguntas:
    (a) Qual é a probabilidade de que um lote venha a ser aceito?
    (b) Ao analisar 8 lotes (cada lote com amostra de 10 itens independente das outras), qual é a probabilidade de que, no máximo, 1 lote seja rejeitado?

Passo 2

Entendendo o modelo (ideia que vamos usar).
  • Cada item, ao ser testado, tem probabilidade p=0{,}03 de ser defeituoso e 1-p=0{,}97 de ser bom. Assumimos independência entre os itens da amostra (isso é padrão em problemas de amostragem aleatória simples).
  • O número de defeituosos numa amostra de tamanho n segue a distribuição binomial. A fórmula geral é:
\Pr(\text{exatamente }k\text{ defeituosos})=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k},
onde \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k posições (entre n) são defeituosas.
  • No nosso caso para aceitar o lote precisamos que o número de defeituosos seja k=0. Substituindo k=0 e n=10 na fórmula, temos:
\Pr(\text{aceitar o lote})=\binom{10}{0} p^{0}(1-p)^{10}=(1-p)^{10}.
Aqui (1-p)^{10} representa a probabilidade de obter 10 itens bons seguidos (ou seja, nenhum defeituoso).

Passo 3

Cálculo numérico do item (a).
  • Colocando p=0{,}03 temos:
\Pr(\text{aceitar})=(1-0{,}03)^{10}=0{,}97^{10}.
  • Vamos calcular 0{,}97^{10} por potências sucessivas (sem precisar de calculadora complexa):
0{,}97^{2}=0{,}9409,
0{,}97^{4}=(0{,}97^{2})^{2}=0{,}9409^{2}=0{,}88529281,
0{,}97^{8}=(0{,}97^{4})^{2}=0{,}88529281^{2}\approx0{,}783526166,
0{,}97^{10}=0{,}97^{8}\cdot0{,}97^{2}\approx0{,}783526166\cdot0{,}9409\approx0{,}7374241269.
  • Portanto, numericamente:
\Pr(\text{aceitar})\approx0{,}7374241269\approx73{,}74\%.

Passo 4

Preparando a solução do item (b) — modelagem.
  • Denotemos por A o evento “um lote é aceito”. Já calculamos \Pr(A)=a=0{,}97^{10}.
  • Então a probabilidade de um lote ser rejeitado é r=\Pr(\text{rejeitado})=1-a.
  • Analisamos 8 lotes independentes. Seja X o número de lotes rejeitados entre os 8. Por independência e pelo fato de cada lote ter probabilidade r de ser rejeitado, X segue \mathrm{Binomial}(n=8,\;p=r).
  • Queremos \Pr(X\le1)=\Pr(X=0)+\Pr(X=1).
  • As fórmulas:
\Pr(X=0)= (1-r)^{8}=a^{8},
\Pr(X=1)= \binom{8}{1} r (1-r)^{7}=8\,r\,a^{7}.
Portanto
\Pr(X\le1)=a^{8}+8\,r\,a^{7}.

Passo 5

Cálculo numérico do item (b).
  • Primeiro obtém-se a e r:
a=0{,}97^{10}\approx0{,}7374241269, \qquad r=1-a\approx1-0{,}7374241269\approx0{,}2625758731.
  • Calcular a^{8}. Podemos usar potências sucessivas do a:
a^{2}\approx0{,}7374241269^{2}\approx0{,}543749,
a^{4}\approx0{,}543749^{2}\approx0{,}295661,
a^{8}\approx0{,}295661^{2}\approx0{,}087412917.
(ou, equivalentemente, a^{8}=(0{,}97^{10})^{8}=0{,}97^{80}, que num cálculo dá o mesmo resultado).
  • Calcular a^{7}=a^{8}/a\approx0{,}087412917/0{,}7374241269\approx0{,}118561.
  • Agora:
\Pr(X=0)=a^{8}\approx0{,}087412917,
\Pr(X=1)=8\,r\,a^{7}\approx8\cdot0{,}2625758731\cdot0{,}118561\approx0{,}248959.
  • Somando:
\Pr(X\le1)=\Pr(X=0)+\Pr(X=1)\approx0{,}087412917+0{,}248959\approx0{,}3363719.
  • Em porcentagem, aproximadamente 33{,}64\%.

Resposta

(a) 0{,}97^{10}\approx0{,}7374241269 (aprox. 73{,}74\%)
(b) (0{,}97^{10})^{8}+8\bigl(1-0{,}97^{10}\bigr)(0{,}97^{10})^{7}\approx0{,}3363719 (aprox. 33{,}64\%)

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