O departamento de qualidade de uma empresa seleciona, aleatoriamente, alguns itens que chegam à empresa e submete-os a testes. Para avaliar um lote de transformadores de pequeno porte, o departamento de qualidade selecionou, aleatoriamente, 10 transformadores. Ele vai recomendar a aceitação do lote se não existir item defeituoso na amostra. Supondo que o processo produtivo desses transformadores gera um percentual de
de defeituosos, responda:
a) Qual é a probabilidade de que o lote venha a ser aceito?
b) Ao analisar 8 lotes de transformadores, com amostras aleatórias de 10 itens em cada lote, qual é a probabilidade de que, no máximo, um lote seja rejeitado?
a) Qual é a probabilidade de que o lote venha a ser aceito?
b) Ao analisar 8 lotes de transformadores, com amostras aleatórias de 10 itens em cada lote, qual é a probabilidade de que, no máximo, um lote seja rejeitado?
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- Foi selecionada uma amostra aleatória de
transformadores de um lote. - A produção tem taxa de defeituosos igual a
(ou seja, probabilidade de um item ser defeituoso é ). - Regra de aceitação do lote: aceitar o lote se NÃO existir nenhum item defeituoso na amostra (isto é, nenhum dos 10 for defeituoso).
- Perguntas:
(a) Qual é a probabilidade de que um lote venha a ser aceito?
(b) Ao analisarlotes (cada lote com amostra de itens independente das outras), qual é a probabilidade de que, no máximo, lote seja rejeitado?
Passo 2
Entendendo o modelo (ideia que vamos usar).
- Cada item, ao ser testado, tem probabilidade
de ser defeituoso e de ser bom. Assumimos independência entre os itens da amostra (isso é padrão em problemas de amostragem aleatória simples). - O número de defeituosos numa amostra de tamanho
segue a distribuição binomial. A fórmula geral é:
onde
é o número de maneiras de escolher quais
posições (entre
) são defeituosas.
- No nosso caso para aceitar o lote precisamos que o número de defeituosos seja
. Substituindo e na fórmula, temos:
Aqui
representa a probabilidade de obter 10 itens bons seguidos (ou seja, nenhum defeituoso).
Passo 3
Cálculo numérico do item (a).
- Colocando
temos:
- Vamos calcular
por potências sucessivas (sem precisar de calculadora complexa):
- Portanto, numericamente:
Passo 4
Preparando a solução do item (b) — modelagem.
- Denotemos por
o evento “um lote é aceito”. Já calculamos . - Então a probabilidade de um lote ser rejeitado é
. - Analisamos
lotes independentes. Seja o número de lotes rejeitados entre os . Por independência e pelo fato de cada lote ter probabilidade de ser rejeitado, segue . - Queremos
. - As fórmulas:
Portanto
Passo 5
Cálculo numérico do item (b).
- Primeiro obtém-se
e :
- Calcular
. Podemos usar potências sucessivas do :
(ou, equivalentemente,
, que num cálculo dá o mesmo resultado).
- Calcular
. - Agora:
- Somando:
- Em porcentagem, aproximadamente
.
Resposta
(a)
(aprox.
)
(b) (aprox.
)
(b)