Exemplo 5.3 Placas de vídeo são expedidas em lotes de 30 unidades. Antes que a remessa seja aprovada, um inspetor escolhe aleatoriamente cinco placas do lote e as inspeciona. Se nenhuma das placas inspecionadas for defeituosa, o lote é aprovado. Se uma ou mais forem defeituosas, todo o lote é inspecionado. Supondo que haja três placas defeituosas no lote, qual é a probabilidade de que o controle da qualidade aponte para a inspeção total?
Qual é a probabilidade do Exemplo 5.3, se a inspeção completa for feita somente quando forem encontradas mais do que uma placa defeituosa na amostra?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Tamanho do lote:
placas. - Número de placas defeituosas no lote:
. - Tamanho da amostra inspecionada aleatoriamente:
placas (amostragem sem reposição).
O enunciado pede duas probabilidades distintas:
- Probabilidade de que o controle aponte para inspeção total quando a regra for: “se uma ou mais placas da amostra forem defeituosas, inspeciona-se todo o lote”.
- Probabilidade quando a regra for modificada para: “inspeção completa somente se forem encontradas mais do que uma placa defeituosa na amostra” — ou seja, inspeciona-se todo o lote se houver pelo menos duas defeituosas na amostra.
Passo 2
Entender o modelo (explicação didática). Aqui a amostra é retirada sem reposição de um lote finito. Nesses casos usamos contagem combinatória (hipergeométrica). A ideia básica:
- Todas as amostras possíveis de tamanho
são igualmente prováveis. O número total de amostras possíveis é . - Para contar amostras com exatamente
defeituosas usamos maneiras de escolher defeituosas dentre as 3 disponíveis e maneiras de escolher o restante da amostra entre as 27 boas.
A fórmula geral (hipergeométrica) para a probabilidade de exatamentedefeituosas na amostra é
Vou usar essa ideia para calcular os casos necessários.
Passo 3
Primeira pergunta (regra original). A inspeção total ocorre sempre que a amostra contém pelo menos uma placa defeituosa. Então a probabilidade pedida é
Agora conto
: número de amostras sem defeituosa é escolher as 5 todas entre as 27 boas, logo
Calculemos os binomiais manualmente:
Portanto
E a probabilidade de inspeção total é
Passo 4
Segunda pergunta (regra modificada). Agora a inspeção completa só ocorre se houver mais do que uma placa defeituosa na amostra, ou seja, se
. Assim
Já temos
.
Calculemos usando a fórmula hipergeométrica:
Calculemos
Calcule
:
Então
portanto
Agora
Passo 5
Interpretação rápida e motivação prática (pequena aula extra): a chance de achar pelo menos uma defeituosa na amostra de 5 é relativamente alta (
) porque há 3 defeituosas em 30 (proporção
). Já a chance de encontrar pelo menos duas defeituosas na mesma amostra de 5 é bem menor (
), porque exigir duas defeituosas na amostra é um evento mais raro dada a pequena quantidade total de defeituosas. Na prova, sempre que a amostragem for sem reposição e o lote for finito, pense em contagem combinatória e no uso da distribuição hipergeométrica como fiz acima.