Um departamento recebe oito chamadas por hora. Qual a probabilidade de que:
em uma hora ocorram três chamadas?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que, em um intervalo de tempo de uma hora, ocorram exatamente três chamadas num departamento que recebe em média oito chamadas por hora. Dados relevantes que o enunciado fornece:
  • Taxa média de chamadas por hora: \lambda = 8.
  • Intervalo considerado: 1 hora.
  • Número de eventos que queremos: k=3.

Passo 2

Modelo adequado: quando eventos (chamadas) ocorrem independentemente, a uma taxa média constante e contamos o número de ocorrências num intervalo fixo, o modelo probabilístico clássico é a distribuição de Poisson. A fórmula da Poisson é:
P(X=k)=\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!},
onde:
  • X é a variável aleatória que conta o número de chamadas no intervalo (aqui 1 hora),
  • \lambda é a média de ocorrências no intervalo (aqui \lambda=8),
  • k é o número de ocorrências de interesse (aqui k=3),
  • k! é o fatorial de k (produto de todos os inteiros de 1 até k),
  • e é a base dos logaritmos naturais ( e\approx2,7182818\ldots).
Explicando de forma bem didática: a distribuição de Poisson dá a probabilidade de exatamente k eventos ocorrerem quando a média esperada é \lambda. Não é preciso dividir o intervalo nem supor nada além da taxa média constante e independência das chamadas.

Passo 3

Aplicar a fórmula com \lambda=8 e k=3.
Calcular os componentes:
\lambda^{k}=8^{3}=8\cdot8\cdot8=512.
k!=3!=3\cdot2\cdot1=6.
Substituindo na fórmula:
P(X=3)=\frac{8^{3} e^{-8}}{3!}=\frac{512\,e^{-8}}{6}.

Passo 4

Agora calcular numericamente. Primeiro aproximar e^{-8}. Usando e\approx2,718281828\ldots tem-se
e^{-8}\approx0,0003354626279.
Multiplicando:
512\cdot e^{-8}\approx512\cdot0,0003354626279\approx0,171131.
Dividindo por 6:
P(X=3)=\frac{0,171131}{6}\approx0,0285219.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais em porcentagem ou quatro casas decimais em probabilidade):
P(X=3)\approx0,02852.

Passo 5

Interpretação rápida e motivação: a probabilidade de exatamente três chamadas em uma hora é baixa porque a média é alta ( \lambda=8). Em termos percentuais, isso corresponde a cerca de 2{,}852\%. Isso significa que, em muitas horas, só em aproximadamente 3 de 100 horas ocorreriam exatamente três chamadas.

Resposta

0,02852

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