Certa noite, em uma cidade, uma pessoa foi atropelada por um táxi, cujo motorista fugiu do local sem socorrê-la. Uma testemunha do atropelamento afirma que o táxi era da cor azul. A cidade possui táxis apenas em duas cores, sendo que 10 \% deles na cor azul. Para verificar a capacidade da testemunha em identificar a cor de um táxi nas mesmas circunstâncias do acidente (à noite, mesma distância, etc.), vários testes foram feitos com ela. Ela identificou corretamente táxis da cor azul em 80 \% dos testes. Para táxis da outra cor, a porcentagem de acerto foi de 90 \%. Calcule a probabilidade da testemunha:
a) dizer que o táxi é azul;
b) ter identificado corretamente a cor do táxi. (Justifique.)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente, sem começar a resolver ainda):
Há táxis apenas em duas cores: azul e não-azul.
Fração (probabilidade a priori) de táxis azuis: P(B)=0,10.
Logo, P(\overline{B})=0,90 é a probabilidade de ser não-azul.
A testemunha, em testes nas mesmas condições, identificou corretamente táxis azuis em 80\%. Ou seja, P(\text{diz azul}\mid B)=0,80.
Para táxis da outra cor, a testemunha acertou em 90\%. Ou seja, P(\text{diz não-azul}\mid \overline{B})=0,90ã. Portanto a taxa de falso positivo (dizer azul quando não é) é P(\text{diz azul}\mid \overline{B})=0,10.
As perguntas pedidas são:
(a) calcular a probabilidade de a testemunha dizer que o táxi é azul (isto é, P(\text{diz azul}));
(b) calcular a probabilidade de ela ter identificado corretamente a cor do táxi dado que ela disse que era azul (isto é, a probabilidade de estar correta quando afirmou “azul”, naturalmente interpretada como P(B\mid \text{diz azul})).
Passo 2
Vamos resolver (a): calcular P(\text{diz azul}).
Usamos a Lei da Probabilidade Total: se S é o evento “testemunha diz azul”, então
P(B) = probabilidade do táxi ser azul antes de ouvir a testemunha;
P(S\mid B) = probabilidade dela dizer “azul” quando o táxi é azul (sensibilidade);
P(\overline{B}) = probabilidade do táxi ser não-azul;
P(S\mid \overline{B}) = probabilidade dela dizer “azul” quando o táxi não é azul (falso positivo).
Agora substituímos os números que estão no enunciado:
Portanto a probabilidade de ela dizer que o táxi é azul é 0,170 (ou 17\%).
Passo 3
Agora (b): queremos a probabilidade de que a identificação dela esteja correta dado que ela disse “azul”, isto é P(B\mid S).
Isto é um problema clássico de probabilidade condicional / Teorema de Bayes. A fórmula de Bayes para este caso é:
P(B\mid S)=\frac{P(B)\,P(S\mid B)}{P(S)}.
Expliquei o numerador e o denominador no Passo 2: o numerador é a probabilidade conjunta de o táxi ser azul e ela dizer “azul”; o denominador é a probabilidade de ela dizer “azul” (já calculada).
Interpretação intuitiva (rápida e motivadora): mesmo com boa acurácia da testemunha (80\% para azul e 90\% para não-azul), a cor azul é rara na frota (10\%). Isso faz com que uma parte significativa dos “diz azul” venha de táxis não-azuis confundidos (falsos positivos). Por isso, dado que a testemunha disse “azul”, a probabilidade de estar realmente correta fica abaixo de 50\%. É exatamente o efeito do chamado “problema da taxa base” — importante lembrar na prova!
Resposta
(a) 0,17 (ou 17\%).
(b) \dfrac{8}{17}\approx 0,4706 (ou aproximadamente 47,06\%).