Em um centro de máquinas, há quatro máquinas automáticas de parafusos. Uma análise dos registros de inspeção passados fornece os seguintes dados
Máquinas
Percentual da
Produção
Percentual de
Defeituosos
Produzidos
1 15 4
2 30 3
3 20 5
4 35 2
As máquinas 2 e 4 são mais novas e, assim, a maior parte da produção foi atribuída a elas. Suponha que o estoque atual reflita as porcentagens de produção indicadas.
a) Se um parafuso é selecionado aleatoriamente do estoque, qual é a probabilidade de que seja defeituoso?
b) Se o parafuso selecionado é defeituoso, qual é a probabilidade de ter sido produzido pela máquina 3 ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • Máquina 1: produção 15\% e defeituosos 4\%.
    • Máquina 2: produção 30\% e defeituosos 3\%.
    • Máquina 3: produção 20\% e defeituosos 5\%.
    • Máquina 4: produção 35\% e defeituosos 2\%.
  • O enunciado pede:
    (a) A probabilidade de um parafuso escolhido ao acaso ser defeituoso.
    (b) A probabilidade de que, sabendo que o parafuso é defeituoso, ele tenha vindo da máquina 3.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar as porcentagens em probabilidades (dividindo por 100). Para ficar claro, defino eventos e notação:
  • M_i = evento "parafuso foi produzido pela máquina i", para i=1,2,3,4.
  • D = evento “parafuso é defeituoso”.
  • P(M_i) = probabilidade de um parafuso vir da máquina i (proporção da produção).
  • P(D\mid M_i) = probabilidade de um parafuso ser defeituoso dado que veio da máquina i.
Convertendo:
P(M_1)=0,15,\; P(M_2)=0,30,\; P(M_3)=0,20,\; P(M_4)=0,35.
P(D\mid M_1)=0,04,\; P(D\mid M_2)=0,03,\; P(D\mid M_3)=0,05,\; P(D\mid M_4)=0,02.

Passo 3

Para responder (a) usamos a Regra da Probabilidade Total: quando um evento D pode ocorrer vindo de várias causas mutuamente exclusivas M_1,\dots,M_4, temos
P(D)=\sum_{i=1}^{4} P(M_i)\,P(D\mid M_i).
Aqui cada termo P(M_i)P(D\mid M_i) é a probabilidade de o parafuso ser da máquina i e ser defeituoso.

Passo 4

Agora calculamos cada termo e somamos:
P(M_1)P(D\mid M_1)=0,15\cdot 0,04=0,006,
P(M_2)P(D\mid M_2)=0,30\cdot 0,03=0,009,
P(M_3)P(D\mid M_3)=0,20\cdot 0,05=0,010,
P(M_4)P(D\mid M_4)=0,35\cdot 0,02=0,007.
Somando:
P(D)=0,006+0,009+0,010+0,007=0,032.
Interpretação prática: a probabilidade de selecionar um parafuso defeituoso do estoque é 0,032, ou seja 3,2\%.

Passo 5

Para (b) queremos P(M_3\mid D): a probabilidade de ter vindo da máquina 3 dado que o parafuso é defeituoso. Usamos o Teorema de Bayes:
P(M_3\mid D)=\frac{P(M_3\cap D)}{P(D)}=\frac{P(M_3)\,P(D\mid M_3)}{P(D)}.
Substituindo os números que já calculamos:
P(M_3\mid D)=\frac{0,20\cdot 0,05}{0,032}=\frac{0,010}{0,032}=0,3125.
Em porcentagem, isso é 31,25\%. Interpretação: entre os parafusos defeituosos do estoque, cerca de 31,25\% vieram da máquina 3.

Passo 6

Resumo didático rápido para a prova (guarde como receita):
  • Converter percentuais para probabilidades (ex.: 15\%\to0,15).
  • Para probabilidade de um defeito total, usar a soma ponderada: P(D)=\sum P(M_i)P(D\mid M_i).
  • Para saber de qual causa veio, usar Bayes: P(M_i\mid D)=\dfrac{P(M_i)P(D\mid M_i)}{P(D)}.
    Você pode aplicar isso sempre que tiver “várias fontes” com diferentes taxas de ocorrência.

Resposta

(a) P(D)=0,032=3,2\%
(b) P(M_3\mid D)=0,3125=31,25\%

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