Em um centro de máquinas, há quatro máquinas automáticas de parafusos. Uma análise dos registros de inspeção passados fornece os seguintes dados
Máquinas
Percentual da
Produção
Percentual de
Defeituosos
Produzidos
1
15
4
2
30
3
3
20
5
4
35
2
As máquinas 2 e 4 são mais novas e, assim, a maior parte da produção foi atribuída a elas. Suponha que o estoque atual reflita as porcentagens de produção indicadas.
a) Se um parafuso é selecionado aleatoriamente do estoque, qual é a probabilidade de que seja defeituoso?
b) Se o parafuso selecionado é defeituoso, qual é a probabilidade de ter sido produzido pela máquina 3 ?
| Máquinas |
|
|
|||||
| 1 | 15 | 4 | |||||
| 2 | 30 | 3 | |||||
| 3 | 20 | 5 | |||||
| 4 | 35 | 2 |
a) Se um parafuso é selecionado aleatoriamente do estoque, qual é a probabilidade de que seja defeituoso?
b) Se o parafuso selecionado é defeituoso, qual é a probabilidade de ter sido produzido pela máquina 3 ?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
Dados (pegos do enunciado):
- Máquina 1: produção
e defeituosos . - Máquina 2: produção
e defeituosos . - Máquina 3: produção
e defeituosos . - Máquina 4: produção
e defeituosos .
- Máquina 1: produção
-
O enunciado pede:
(a) A probabilidade de um parafuso escolhido ao acaso ser defeituoso.
(b) A probabilidade de que, sabendo que o parafuso é defeituoso, ele tenha vindo da máquina 3.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar as porcentagens em probabilidades (dividindo por
). Para ficar claro, defino eventos e notação:
-
= evento "parafuso foi produzido pela máquina ", para . -
= evento “parafuso é defeituoso”. -
= probabilidade de um parafuso vir da máquina (proporção da produção). -
= probabilidade de um parafuso ser defeituoso dado que veio da máquina .
Convertendo:
Passo 3
Para responder (a) usamos a Regra da Probabilidade Total: quando um evento
pode ocorrer vindo de várias causas mutuamente exclusivas
, temos
Aqui cada termo
é a probabilidade de o parafuso ser da máquina
e ser defeituoso.
Passo 4
Agora calculamos cada termo e somamos:
Somando:
Interpretação prática: a probabilidade de selecionar um parafuso defeituoso do estoque é
, ou seja
.
Passo 5
Para (b) queremos
: a probabilidade de ter vindo da máquina 3 dado que o parafuso é defeituoso. Usamos o Teorema de Bayes:
Substituindo os números que já calculamos:
Em porcentagem, isso é
. Interpretação: entre os parafusos defeituosos do estoque, cerca de
vieram da máquina 3.
Passo 6
Resumo didático rápido para a prova (guarde como receita):
- Converter percentuais para probabilidades (ex.:
). - Para probabilidade de um defeito total, usar a soma ponderada:
. - Para saber de qual causa veio, usar Bayes:
.
Você pode aplicar isso sempre que tiver “várias fontes” com diferentes taxas de ocorrência.
Resposta
(a)
(b)
(b)