O departamento de Saúde do Estado de Nova York relata uma taxa de 0,3 \% de HIV para a população em geral e, sob certas condições, os testes preliminares do vírus HIV são corretos 95 \% das vezes (tanto para positivos verdadeiros quanto para negativos verdadeiros). Suponha que essa população seja composta de 100000 pessoas. Encontre a probabilidade de selecionar aleatoriamente uma pessoa com HIV, dado que o teste deu positivo.

Passo 1

O enunciado diz que a prevalência de HIV na população é de \,0,3\% e que o teste acerta 95\% tanto em positivos verdadeiros (sensibilidade) quanto em negativos verdadeiros (especificidade). Queremos a probabilidade de alguém ter HIV dado que o teste deu positivo, isto é, \Pr(HIV \mid +). Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, convertemos as porcentagens em probabilidades e contamos em uma população de 100000 pessoas:
\Pr(HIV)=0,3\%=0,003, \quad \Pr(\neg HIV)=1-0,003=0,997.
Dessas 100000 pessoas:
\text{pessoas com HIV} = 100000 \times 0,003 = 300, \quad \text{pessoas sem HIV} = 100000 \times 0,997 = 99700.

Passo 3

Agora aplicamos a acurácia do teste:
\Pr(+\mid HIV)=0,95, \quad \Pr(-\mid \neg HIV)=0,95 \;\Longrightarrow\; \Pr(+\mid \neg HIV)=0,05.
Logo:
\text{verdadeiros positivos} = 300 \times 0,95 = 285, \quad \text{falsos positivos} = 99700 \times 0,05 = 4985.
O total de testes positivos é
285 + 4985 = 5270.

Passo 4

Finalmente, pelo Teorema de Bayes:
\Pr(HIV \mid +) = \frac{\Pr(+\mid HIV)\,\Pr(HIV)}{\Pr(+\mid HIV)\,\Pr(HIV) + \Pr(+\mid \neg HIV)\,\Pr(\neg HIV)} = \frac{285}{5270} \approx 0,05407.

Resposta

A probabilidade de a pessoa ter HIV dado que o teste deu positivo é aproximadamente 5,4\%.

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