O Departamento de Transportes dos EUA exige que fabricantes de pneus exibam na banda lateral informações de desempenho para auxiliar consumidores na compra. Um dado crucial é o índice de desgaste da banda de rodagem, que compara a durabilidade do pneu a um modelo base graduado em 100. Por exemplo, um pneu com graduação 200 deve durar, em média, o dobro do modelo base. Uma associação de consumidores investiga o índice de desgaste da banda de rodagem de um pneu popular rotulado como "graduação 200 ". Uma amostra aleatória de 18 pneus apresenta média de 195,3 e desvio-padrão de 21,4 . Há evidências de que a média populacional do índice de desgaste difere de 200 ? Use nível de significância de 0,05 .

Passo 1

O enunciado pede verificar se há evidências de que a média populacional do índice de desgaste difere de 200, ao nível de significância \alpha=0,05. Informações dadas:
n=18,\quad \bar{x}=195,3,\quad s=21,4,\quad \mu_0=200,\quad \alpha=0,05.
A pergunta é explícita: testar se a média populacional é diferente de 200 (teste bilateral).

Passo 2

Escolha do método e por quê (explicação didática)
  • Quando queremos testar uma média e a variância populacional é desconhecida (aqui só temos s), usamos o teste t de Student.
  • Além disso a amostra é pequena ( n=18), o que reforça o uso do t em vez do z.
  • Intuição rápida: o teste t é igual ao teste z mas corrige a incerteza extra causada por estimar a variância pela amostra; essa correção depende dos graus de liberdade n-1.

Passo 3

Formulação das hipóteses (explicação do que cada símbolo significa)
Escrevemos as hipóteses nulas e alternativas:
H_0:\\ \mu = 200
H_1:\\ \mu \neq 200
Aqui \mu é a média verdadeira do índice de desgaste na população. O teste é bilateral porque H_1 é “diferente de”.

Passo 4

Estatística de teste e sua interpretação (aula rápida)
A estatística do teste t é
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}.
O numerador \bar{x}-\mu_0 mede a diferença observada entre a média da amostra e o valor hipotético; o denominador s/\sqrt{n} é o erro padrão da média (estimação da variabilidade da média amostral). Sob H_0, essa estatística segue uma distribuição t com n-1 graus de liberdade.

Passo 5

Cálculo passo a passo da estatística t
Calculemos a raiz e o erro padrão:
\sqrt{n}=\sqrt{18}\approx 4,2426
\text{Erro padrão }(SE)=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{21,4}{4,2426}\approx 5,0419ã
Agora a estatística t:
t=\frac{195,3-200}{5,0419}=\frac{-4,7}{5,0419}\approx -0,93.
Portanto a estatística observada é t\approx -0,93.

Passo 6

Regra de decisão e cálculo do p-valor (interpretação)
  • Graus de liberdade: df=n-1=17.
  • Para um teste bilateral ao nível \alpha=0,05, o valor crítico é t_{0,025,17}. Consultando tabela t, temos aproximadamente
t_{0,025,17}\approx 2,110.
  • Regra: rejeitar H_0 se |t_{\text{obs}}|>2,110.
  • Aqui |t_{\text{obs}}|=0,93<2,110, logo não rejeitamos H_0.
Cálculo aproximado do p-valor (o p-valor é a probabilidade, sob H_0, de obter estatística tão ou mais extrema que a observada):
p\text{-valor}=2\cdot P(T_{17}\le -0,93)\approx 2\cdot 0,182\approx 0,36.
(Usei a simetria da t e valores tabelados/aproximação numérica; o p-valor aproximado é 0,36.)

Passo 7

Conclusão em linguagem prática e motivacional
Como |t_{\text{obs}}|<t_{0,025,17} e o p-valor ( \approx 0,36) é bem maior que \alpha=0,05, não há evidências suficientes para concluir que a média do índice de desgaste difere de 200. Ou seja: com esses dados não podemos afirmar que o pneu não corresponde à graduação 200. Fica a dica: se quiser provar diferença pequena, precisa de uma amostra maior (mais pneus) para reduzir o erro padrão — isso é algo que dá para controlar se repetir o estudo.

Resposta

Não há evidências suficientes para rejeitar H_0 ao nível \alpha=0,05. Estatística t\approx -0,93, p-valor \approx 0,36.

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