O Departamento de Transportes dos EUA exige que fabricantes de pneus exibam na banda lateral informações de desempenho para auxiliar consumidores na compra. Um dado crucial é o índice de desgaste da banda de rodagem, que compara a durabilidade do pneu a um modelo base graduado em 100. Por exemplo, um pneu com graduação 200 deve durar, em média, o dobro do modelo base. Uma associação de consumidores investiga o índice de desgaste da banda de rodagem de um pneu popular rotulado como "graduação 200 ". Uma amostra aleatória de 18 pneus apresenta média de 195,3 e desvio-padrão de 21,4 . Há evidências de que a média populacional do índice de desgaste difere de 200 ? Use nível de significância de 0,05 .
Passo 1
O enunciado pede verificar se há evidências de que a média populacional do índice de desgaste difere de
, ao nível de significância
. Informações dadas:
A pergunta é explícita: testar se a média populacional é diferente de
(teste bilateral).
Passo 2
Escolha do método e por quê (explicação didática)
- Quando queremos testar uma média e a variância populacional é desconhecida (aqui só temos
), usamos o teste de Student. - Além disso a amostra é pequena (
), o que reforça o uso do em vez do . - Intuição rápida: o teste
é igual ao teste mas corrige a incerteza extra causada por estimar a variância pela amostra; essa correção depende dos graus de liberdade .
Passo 3
Formulação das hipóteses (explicação do que cada símbolo significa)
Escrevemos as hipóteses nulas e alternativas:
Escrevemos as hipóteses nulas e alternativas:
Aqui
é a média verdadeira do índice de desgaste na população. O teste é bilateral porque
é “diferente de”.
Passo 4
Estatística de teste e sua interpretação (aula rápida)
A estatística do teste é
A estatística do teste
O numerador
mede a diferença observada entre a média da amostra e o valor hipotético; o denominador
é o erro padrão da média (estimação da variabilidade da média amostral). Sob
, essa estatística segue uma distribuição
com
graus de liberdade.
Passo 5
Cálculo passo a passo da estatística
Calculemos a raiz e o erro padrão:
Calculemos a raiz e o erro padrão:
Agora a estatística
:
Portanto a estatística observada é
.
Passo 6
Regra de decisão e cálculo do
-valor (interpretação)
- Graus de liberdade:
. - Para um teste bilateral ao nível
, o valor crítico é . Consultando tabela , temos aproximadamente
- Regra: rejeitar
se . - Aqui
, logo não rejeitamos .
Cálculo aproximado do
-valor (o
-valor é a probabilidade, sob
, de obter estatística tão ou mais extrema que a observada):
(Usei a simetria da
e valores tabelados/aproximação numérica; o
-valor aproximado é
.)
Passo 7
Conclusão em linguagem prática e motivacional
Como e o
-valor (
) é bem maior que
, não há evidências suficientes para concluir que a média do índice de desgaste difere de
. Ou seja: com esses dados não podemos afirmar que o pneu não corresponde à graduação
. Fica a dica: se quiser provar diferença pequena, precisa de uma amostra maior (mais pneus) para reduzir o erro padrão — isso é algo que dá para controlar se repetir o estudo.
Como
Resposta
Não há evidências suficientes para rejeitar
ao nível
. Estatística
,
-valor
.