Questão 3 - Uma lâmpada tem duração de acordo com a densidade de probabilidade a seguir:
f(x)=\left\{\begin{array}{c}0 \quad \text { se } x<0 \\\ \frac{1}{1000} e^{-\frac{x}{1000}} \quad \text { se } x \geq 0\end{array}\right.
Qual a probabilidade de que uma lâmpada qualquer queime depois de sua duração média?

Passo 1

O enunciado dá a densidade de probabilidade
f(x)=\begin{cases} 0 & \text{se } x<0,\\[4pt] \displaystyle \frac{1}{1000}e^{-\frac{x}{1000}} & \text{se } x\ge 0, \end{cases}
e pergunta: qual a probabilidade de que uma lâmpada qualquer queime depois de sua duração média?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{densidade } f(x)=\frac{1}{1000}e^{-x/1000}\\ \text{ para } x\ge 0,
e o objetivo é calcular P\bigl(X>\text{média}\bigr)é, onde X é a duração da lâmpada.]

Passo 2

Identificamos o parâmetro da distribuição exponencial presente na densidade. A forma geral da densidade exponencial é
f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\quad\text{para }x\ge 0,
comparando com a dada vemos que
\lambda=\frac{1}{1000}.
Explicação curta: \lambda é a taxa da distribuição; aqui ela vale \tfrac{1}{1000}, o que define a “escala” da exponencial.

Passo 3

Vamos calcular a média \mathbb{E}[X] da distribuição exponencial dada. A definição é
\mathbb{E}[X]=\int_{0}^{\infty} x f(x)\,dx=\int_{0}^{\infty} x\left(\frac{1}{1000}e^{-x/1000}\right)dx.
Para resolver essa integral usamos integração por partes. Tome
u=x,\qquad dv=\frac{1}{1000}e^{-x/1000}dx.
Então
du=dx,\qquad v=\int \frac{1}{1000}e^{-x/1000}dx=-e^{-x/1000}.
Aplicando integração por partes:
\int_{0}^{\infty} x\left(\frac{1}{1000}e^{-x/1000}\right)dx = \Bigl[ x\bigl(-e^{-x/1000}\bigr)\Bigr]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} \bigl(-e^{-x/1000}\bigr)\,dx.
O termo de fronteira \lim_{x\to\infty} x e^{-x/1000}=0 e em x=0 vale 0, logo a primeira parcela é 0. Restou
\int_{0}^{\infty} e^{-x/1000}dx.
Calcule essa integral:
\int_{0}^{\infty} e^{-x/1000}dx = \Bigl[-1000 e^{-x/1000}\Bigr]_{0}^{\infty}=1000.
Portanto
\mathbb{E}[X]=1000.
Comentário didático: para a exponencial com parâmetro \lambda, a média é \mathbb{E}[X]=1/\lambda. Aqui 1/\lambda=1000.

Passo 4

Agora calculamos a probabilidade pedida:
P\bigl(X>\mathbb{E}[X]\bigr)=P(X>1000)=\int_{1000}^{\infty} \frac{1}{1000}e^{-x/1000}\,dx.
Essa integral é a função sobrevivência (ou cauda) da exponencial. Calcule:
\int_{1000}^{\infty} \frac{1}{1000}e^{-x/1000}\,dx = \Bigl[-e^{-x/1000}\Bigr]_{1000}^{\infty} = 0 - \bigl(-e^{-1000/1000}\bigr)=e^{-1}.
Explicação prática: para a exponencial P(X>t)=e^{-\lambda t}. Substituindo \lambda=\tfrac{1}{1000} e t=1000 obtemos e^{-1}.

Passo 5

Interpretação numérica e dica para a prova: e^{-1} é aproximadamente 0,3679, ou seja cerca de 36{,}79\%. Uma boa lembrança para a prova: para qualquer distribuição exponencial, a probabilidade de ultrapassar sua média é sempre e^{-1} (aprox. 0{,}368), independente da escala — isso vem da propriedade de que \mathbb{E}[X]=1/\lambda e P(X>1/\lambda)=e^{-1}. Força aí — essa é uma conta curta e elegante de decorar!

Resposta

P(X>\text{média})=e^{-1}\approx0,3678794412é

Exercícios relacionados