Um engenheiro de um fabricante de pneus analisa a durabilidade de um novo composto de borracha. Ele produziu e testou 10 pneus até o desgaste total em condições reais. Os resultados apresentaram média de 61.492 km e desvio padrão de 3.035 km .
a) O engenheiro pretende comprovar que a durabilidade média deste novo modelo de pneu supera significativamente os 60.000 km . Desenvolva e avalie as hipóteses pertinentes, realizando testes estatísticos com um nível de significância de
. Com base nos resultados obtidos, elabore conclusões fundamentadas.
b) Considere uma durabilidade média de 61.000 km e o engenheiro deseja detectar essa diferença com probabilidade mínima de 0,90 . A amostra de
usada anteriormente é adequada? Use o desvio padrão amostral como estimativa de
para sua análise.
c) Calcule o intervalo de confiança de
para a durabilidade média do pneu.
a) O engenheiro pretende comprovar que a durabilidade média deste novo modelo de pneu supera significativamente os 60.000 km . Desenvolva e avalie as hipóteses pertinentes, realizando testes estatísticos com um nível de significância de
b) Considere uma durabilidade média de 61.000 km e o engenheiro deseja detectar essa diferença com probabilidade mínima de 0,90 . A amostra de
c) Calcule o intervalo de confiança de
Passo 1
Enunciado resumido e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado):
- Perguntas:
- Testar, ao nível de significância de
, se a durabilidade média desse novo pneu supera significativamente km. - Para uma verdadeira média de
km, verificar se a amostra de tem potência (probabilidade de detectar essa diferença) pelo menos . Usar o desvio padrão amostral como estimativa de . - Calcular o intervalo de confiança de
para a durabilidade média.
- Testar, ao nível de significância de
- Dados fornecidos:
- tamanho da amostra:
- média amostral:
km - desvio padrão amostral:
km
- tamanho da amostra:
- Observação: todos os números acima foram dados no enunciado; não há figura nem tabela adicional.
Passo 2
a) Formulação das hipóteses e escolha do teste (sem calcular ainda):
- Hipótese nula e alternativa (como o engenheiro quer mostrar “supera”):
- Motivo da escolha do teste: a amostra é pequena (
) e é desconhecida, logo usamos o teste t unilateral para uma média (teste t de Student para uma amostra). - Estatística de teste: a estatística t é dada por
onde é a média amostral, é o valor sob , é o desvio padrão amostral e é o tamanho da amostra. - Explicando cada termo:
é o melhor palpite para baseado na amostra; é o erro padrão da média (medida de quanto a média amostral varia entre amostras); o quociente mede quantos “erros padrão” a média observada está acima de .
- Explicando cada termo:
- Rejeição: para nível
e grau de liberdade , a região de rejeição unilateral é , onde é o quantil da t com graus de liberdade.
Passo 3
a) Cálculo da estatística t, valor crítico e decisão:
- Primeiro calculamos o erro padrão da média:
Calculando , obtemos - Agora a estatística t:
- Valor crítico para teste unilateral com
e : . - Decisão pelo critério crítico: como
, não rejeitamos ao nível . - Interpretação prática: a média amostral é maior que
km, mas não suficientemente maior, em termos estatísticos, para ser considerada “significativamente” maior com de nível de significância.
Passo 4
a) Cálculo aproximado do p‑valor e conclusão final:
- Para referência, o p‑valor unilateral associado a
com é aproximadamente (ou seja, cerca de ). Isso confirma que . - Conclusão: com base na amostra de
, ao nível de , não há evidência estatística suficiente para afirmar que a durabilidade média supera km. (Mas note que a média observada está acima; apenas a evidência não é forte o bastante.)
Passo 5
b) Potência do teste para detectar
(diferença de
km) e adequação de
: método e explicação didática
- O que é potência: a potência do teste é a probabilidade de rejeitar
quando a verdadeira média é um valor específico (aqui ). É , onde é a probabilidade de erro tipo II (não detectar a diferença quando ela existe). O engenheiro quer potência mínima . - Método usado (explicação): idealmente para pequeno
com estimado usaríamos a distribuição t não central para calcular potência exata. Isso é mais trabalhoso; para um cálculo prático e didático usamos a aproximação normal (muito usada em planejamento amostral) substituindo por uma estimativa de . Essa aproximação dá respostas muito próximas e é a que se aplica em provas rápidas. - Definimos o tamanho do efeito padronizado:
Interpretando: é quantos desvios padrão a diferença de km representa. Aqui é um efeito pequeno-médio. - Fórmula aproximada (unilateral) para potência usando normal: se
é o quantil da normal para o teste (unilateral) e o quantil para a potência desejada, precisamos que - Explicando:
indica quantos desvios padrões a média observada se afasta sob a alternativa; para ter potência desejada, esse deslocamento deve superar a barreira formada pela soma dos quantis.
- Explicando:
- Para
(unilateral) temos . Para potência queremos . Assim Então - Interpretação: para ter potência aproximadamente
para detectar média km usando como estimativa de , seria necessário cerca de pneus. - Potência da amostra atual (
): podemos calcular a potência aproximada que a amostra atual oferece: onde é a função de distribuição da normal padrão. Aqui , então Ou seja, apenas cerca de de chance de detectar a diferença de km com . - Conclusão da parte b): a amostra de
NÃO é adequada para obter potência ; seria necessário algo como (aproximação).
Passo 6
c) Cálculo do intervalo de confiança de
para
(explicação e conta):
- Fórmula do intervalo t de confiança:
onde é o quantil da t de Student com graus de liberdade. Para e temos . - Usando o erro padrão já calculado
km e o fator , a margem de erro é - Então o intervalo de
é Calculando: Arredondando para o quilômetro inteiro: . - Interpretação: com
de confiança, a verdadeira durabilidade média do novo composto está entre aproximadamente mil km e mil km.
Resposta
a) Não rejeitamos
ao nível
. Estatística
, valor crítico
, p‑valor unilateral aproximadamente
. Conclusão: não há evidência estatística suficiente para afirmar que a durabilidade média supera
km.
b) A amostra não é adequada. Potência aproximada com
para
:
. Tamanho de amostra necessário (aproximado) para potência
:
.
c) Intervalo de confiança de para a média:
.
b) A amostra
c) Intervalo de confiança de