A dependência de uma grandeza física
em função de outra
obedece a seguinte equação:
Considere que você realizou um experimento cujos dados obedecem a equação acima. Ao realizar a linearização usando log dos dados, foi possível obter uma reta com coeficiente angular
e um Coeficiente linear
. Assumindo que todas as grandezas deste problema são adimensionais, determine o valor numérico das constantes A e B com dois algarismos significativos.
Passo 1
O enunciado dá a relação entre duas grandezas adimensionais
e
:
Você fez a linearização usando log dos dados e obteve uma reta com coeficiente angular (inclinação) e coeficiente linear (intercepto) iguais a
O que o problema pede: determinar numericamente as constantes
e
(com duas cifras significativas). Todas as grandezas são adimensionais. Aqui estão as informações relevantes listadas:
- Equação do modelo:
- Inclinação obtida no gráfico log-log:
- Intercepto obtido no gráfico log-log:
- Preciso entregar
e com duas cifras significativas.
Passo 2
Vamos linearizar a equação tomando log dos dois lados e usar propriedades básicas dos logaritmos. Lembre que:
-
. -
.
Tomando log (qualquer base consistente, por exemplo base 10) de ambos os lados:
Isso mostra que um gráfico de
versus
é uma reta com:
- inclinação
, - intercepto
.
Observação importante (que justifica nosso procedimento): a inclinação
é independente da base do logaritmo escolhida (uma reta log-log de potência dá sempre o expoente como inclinação). O valor numérico do intercepto depende da base do logaritmo porque
envolve a base
. Em experimentos e plots log-log é muito comum usar log base 10; vou tomar essa convenção aqui (isso não afeta a relação entre inclinação e
, só a forma explícita de recuperar
). Se você tivesse usado log natural, o procedimento algébrico seria análogo com
em vez de
.
Passo 3
Usamos a relação entre inclinação e
. Como a inclinação medida é
, temos:
Logo
Faço a divisão passo a passo:
. Mantendo a incerteza proporcional, a incerteza em
é
. Para entregar com duas cifras significativas, arredondamos
para duas cifras significativas:
. (Aqui a segunda cifra significativa é o algarismo 9, portanto
arredonda para
.)
Passo 4
Agora usamos o intercepto para obter
. Da linearização temos a relação
O intercepto medido é
. Então
Passando do logaritmo para a forma exponencial:
Calculemos
. Podemos usar
. Sabendo que
, obtemos
. Portanto
Assim
Passo 5
Arredondamento para duas cifras significativas: o número
tem algarismos significativos começando em 1 (primeira cifra) e 5 (segunda cifra), mas observando o terceiro algarismo (8) devemos arredondar o segundo para cima. Portanto, com duas cifras significativas:
Para
, já obtivemos
(duas cifras significativas).
Observação sobre incertezas (apenas para contexto): com o intervalo de
no intercepto, os valores possíveis de
variam relativamente bastante (por exemplo, para
temos
e para
temos
), mostrando que
tem incerteza relativa grande. Mas o enunciado pediu apenas os valores numéricos com duas cifras significativas.