A dependência de uma grandeza física y em função de outra x obedece a seguinte equação:
y=\frac{x^{8 B}}{5 A}
Considere que você realizou um experimento cujos dados obedecem a equação acima. Ao realizar a linearização usando log dos dados, foi possível obter uma reta com coeficiente angular (5.52 \pm 0.05) e um Coeficiente linear (1.1 \pm 0,2). Assumindo que todas as grandezas deste problema são adimensionais, determine o valor numérico das constantes A e B com dois algarismos significativos.

Passo 1

O enunciado dá a relação entre duas grandezas adimensionais x e y:
y=\frac{x^{8B}}{5A}
Você fez a linearização usando log dos dados e obteve uma reta com coeficiente angular (inclinação) e coeficiente linear (intercepto) iguais a
\text{coeficiente angular} = (5{,}52 \pm 0{,}05)
\text{coeficiente linear} = (1{,}1 \pm 0{,}2)
O que o problema pede: determinar numericamente as constantes A e B (com duas cifras significativas). Todas as grandezas são adimensionais. Aqui estão as informações relevantes listadas:
  • Equação do modelo: \displaystyle y=\frac{x^{8B}}{5A}.
  • Inclinação obtida no gráfico log-log: \displaystyle 5{,}52 \pm 0{,}05.
  • Intercepto obtido no gráfico log-log: \displaystyle 1{,}1 \pm 0{,}2.
  • Preciso entregar A e B com duas cifras significativas.

Passo 2

Vamos linearizar a equação tomando log dos dois lados e usar propriedades básicas dos logaritmos. Lembre que:
  • \log(u^n)=n\log u.
  • \log\!\left(\dfrac{u}{v}\right)=\log u-\log v.
Tomando log (qualquer base consistente, por exemplo base 10) de ambos os lados:
\log y = \log\!\left(\frac{x^{8B}}{5A}\right)=\log(x^{8B})-\log(5A)=8B\cdot\log x - \log(5A).
Isso mostra que um gráfico de \log y versus \log x é uma reta com:
  • inclinação m = 8B,
  • intercepto c = -\log(5A).
Observação importante (que justifica nosso procedimento): a inclinação m=8B é independente da base do logaritmo escolhida (uma reta log-log de potência dá sempre o expoente como inclinação). O valor numérico do intercepto depende da base do logaritmo porque c=-\log_{b}(5A) envolve a base b. Em experimentos e plots log-log é muito comum usar log base 10; vou tomar essa convenção aqui (isso não afeta a relação entre inclinação e B, só a forma explícita de recuperar A). Se você tivesse usado log natural, o procedimento algébrico seria análogo com e em vez de 10.

Passo 3

Usamos a relação entre inclinação e B. Como a inclinação medida é 5{,}52, temos:
8B = 5{,}52.
Logo
B=\frac{5{,}52}{8}.
Faço a divisão passo a passo: 5{,}52\div 8 = 0{,}690\;0\overline{0}. Mantendo a incerteza proporcional, a incerteza em B é \Delta B = \dfrac{0{,}05}{8}=0{,}00625. Para entregar com duas cifras significativas, arredondamos B para duas cifras significativas: B=0{,}69. (Aqui a segunda cifra significativa é o algarismo 9, portanto 0{,}690 arredonda para 0{,}69.)

Passo 4

Agora usamos o intercepto para obter A. Da linearização temos a relação
\text{intercepto } c = -\log_{10}(5A).
O intercepto medido é c=1{,}1. Então
-\log_{10}(5A)=1{,}1 \quad\Rightarrow\quad \log_{10}(5A)=-1{,}1.
Passando do logaritmo para a forma exponencial:
5A = 10^{-1{,}1}.
Calculemos 10^{-1{,}1}. Podemos usar 10^{-1{,}1}=10^{-1}\cdot 10^{-0{,}1}=0{,}1\cdot 10^{-0{,}1}. Sabendo que 10^{0{,}1}\approx 1{,}258925, obtemos 10^{-0{,}1}\approx 0{,}794328. Portanto
5A \approx 0{,}1\times 0{,}794328 = 0{,}0794328.
Assim
A = \frac{0{,}0794328}{5} = 0{,}01588656\ldots

Passo 5

Arredondamento para duas cifras significativas: o número A\approx 0{,}01588656 tem algarismos significativos começando em 1 (primeira cifra) e 5 (segunda cifra), mas observando o terceiro algarismo (8) devemos arredondar o segundo para cima. Portanto, com duas cifras significativas:
A = 0{,}016.
Para B, já obtivemos B=0{,}69 (duas cifras significativas).
Observação sobre incertezas (apenas para contexto): com o intervalo de \pm 0{,}2 no intercepto, os valores possíveis de A variam relativamente bastante (por exemplo, para c=0{,}9 temos A\approx 0{,}025 e para c=1{,}3 temos A\approx 0{,}010), mostrando que A tem incerteza relativa grande. Mas o enunciado pediu apenas os valores numéricos com duas cifras significativas.

Resposta

A=0{,}016
B=0{,}69

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