Um tecido usado em estruturas infláveis está submetido a um carregamento biaxial que resulta em tensões normais
e
. Sabendo que as propriedades do tecido podem ser de aproximadamente
e
, determine a variação no comprimento
do lado BC
do lado BC
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Tensões normais biaxiais:
e . - Propriedades do material:
e .
O que o enunciado pede:
- Determinar a variação no comprimento do lado
(ou seja, ).
Informações que NÃO foram fornecidas (e que são necessárias para um valor numérico):
- O comprimento inicial do lado
, que eu vou chamar de . - A orientação do lado
em relação ao eixo (ou seja, o ângulo entre e o eixo ).
Observação sobre hipóteses razoáveis:
- Como foram dadas apenas
e (e nada sobre ), vou assumir que não há tensão de cisalhamento no elemento (caso típico em carregamento biaxial puro). Se houver a solução muda porque aparece deformação de cisalhamento.
Passo 2
Vamos recordar a relação de Hooke para o caso plano (plane stress) com carregamento biaxial sem cisalhamento. Essas fórmulas dão as deformações normais nas direções
e
a partir das tensões
e
.
As fórmulas são:
O que cada símbolo significa:
-
é a deformação normal (adimensional) na direção (variação relativa de comprimento). -
é a deformação normal na direção . -
é o módulo de Young (rigidez do material). -
é o coeficiente de Poisson (que relaciona contrações/transversais). -
são as tensões normais nas direções e .
Explicação rápida e intuitiva: a deformação em
é proporcional à tensão em
(fator
) mas reduzida pelo efeito lateral da tensão em
através de
.
Passo 3
Queremos a variação no comprimento do lado
. Se
fizer um ângulo
com o eixo
, a deformação normal ao longo de
(vou chamar de
) é dada pela transformação de deformações (fórmula de transformação de tensões/deformações):
Explicando:
-
é a deformação normal na direção que forma ângulo com . -
é o componente de deformação de cisalhamento do tensor de deformações. Para o caso em que (sem cisalhamento), tipicamente , então o termo misto desaparece.
Adotando
(hipótese consistente com
), simplificamos para:
Passo 4
Agora substituímos
e
(do Passo 2) na expressão de
.
Primeiro escrevo
numa unidade compatível com as tensões (vou usar
):
.
Substituindo:
Factorizando
:
Agora coloco os valores numéricos das tensões e de
dentro dos colchetes (em
):
Logo:
Podemos rearranjar para uma forma ligeiramente mais compacta:
pois
.
Passo 5
A variação absoluta de comprimento
relaciona-se com a deformação normal por:
Substituindo a expressão de
:
Isso é a expressão geral (adimensional para
,
tem as mesmas unidades de
).
Exemplos de casos úteis (para você ver números concretos):
- Se
estiver alinhado com o eixo (ou seja, ), então e
então
.
- Se
estiver alinhado com o eixo (ou seja, ), então e
então
.
Passo 6
Resumo do procedimento prático para aplicar na prova:
- Identificar
(orientação do lado ) e o comprimento inicial . - Calcular
por
- Calcular
.
Se na prova o lado
estiver paralelo a
ou a
, use as fórmulas dos exemplos (é mais rápido). Você consegue — respira fundo que a lógica é simples: converte tensões em deformações (Hooke), transforma para a direção do lado (fórmula de transformação), multiplica por
.
Resposta
Não é possível determinar numericamente
porque faltam o comprimento inicial
e a orientação
. Em função desses dados, a variação é