Um tecido usado em estruturas infláveis está submetido a um carregamento biaxial que resulta em tensões normais σ_{\mathrm{x}}=210 \mathrm{MPa} e σ_{\mathrm{y}}=160 \mathrm{MPa}. Sabendo que as propriedades do tecido podem ser de aproximadamente \mathrm{E}=87 \mathrm{GPa} e v=0,34, determine a variação no comprimento
do lado BC

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Tensões normais biaxiais: \sigma_{\mathrm{x}}=210\\ \mathrm{MPa} e \sigma_{\mathrm{y}}=160\\ \mathrm{MPa}.
  • Propriedades do material: E=87\\ \mathrm{GPa} e \nu=0,34.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a variação no comprimento do lado BC (ou seja, \Delta L_{BC}).
Informações que NÃO foram fornecidas (e que são necessárias para um valor numérico):
  • O comprimento inicial do lado BC, que eu vou chamar de L_{BC}.
  • A orientação do lado BC em relação ao eixo x (ou seja, o ângulo \theta entre BC e o eixo x).
Observação sobre hipóteses razoáveis:
  • Como foram dadas apenas \sigma_{\mathrm{x}} e \sigma_{\mathrm{y}} (e nada sobre \tau_{xy}), vou assumir que não há tensão de cisalhamento \tau_{xy}=0 no elemento (caso típico em carregamento biaxial puro). Se houver \tau_{xy} a solução muda porque aparece deformação de cisalhamento.

Passo 2

Vamos recordar a relação de Hooke para o caso plano (plane stress) com carregamento biaxial sem cisalhamento. Essas fórmulas dão as deformações normais nas direções x e y a partir das tensões \sigma_{\mathrm{x}} e \sigma_{\mathrm{y}}.
As fórmulas são:
\varepsilon_{\mathrm{x}}=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_{\mathrm{x}}-\nu\,\sigma_{\mathrm{y}}\bigr)
\varepsilon_{\mathrm{y}}=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_{\mathrm{y}}-\nu\,\sigma_{\mathrm{x}}\bigr)
O que cada símbolo significa:
  • \varepsilon_{\mathrm{x}} é a deformação normal (adimensional) na direção x (variação relativa de comprimento).
  • \varepsilon_{\mathrm{y}} é a deformação normal na direção y.
  • E é o módulo de Young (rigidez do material).
  • \nu é o coeficiente de Poisson (que relaciona contrações/transversais).
  • \sigma_{\mathrm{x}},\sigma_{\mathrm{y}} são as tensões normais nas direções x e y.
Explicação rápida e intuitiva: a deformação em x é proporcional à tensão em x (fator 1/E) mas reduzida pelo efeito lateral da tensão em y através de \nu.

Passo 3

Queremos a variação no comprimento do lado BC. Se BC fizer um ângulo \theta com o eixo x, a deformação normal ao longo de BC (vou chamar de \varepsilon_{n}) é dada pela transformação de deformações (fórmula de transformação de tensões/deformações):
\varepsilon_{n}=\varepsilon_{\mathrm{x}}\cos^{2}\theta+\varepsilon_{\mathrm{y}}\sin^{2}\theta+2\varepsilon_{xy}\sin\theta\cos\theta
Explicando:
  • \varepsilon_{n} é a deformação normal na direção que forma ângulo \theta com x.
  • \varepsilon_{xy} é o componente de deformação de cisalhamento do tensor de deformações. Para o caso em que \tau_{xy}=0 (sem cisalhamento), tipicamente \varepsilon_{xy}=0, então o termo misto desaparece.
Adotando \varepsilon_{xy}=0 (hipótese consistente com \tau_{xy}=0), simplificamos para:
\varepsilon_{n}=\varepsilon_{\mathrm{x}}\cos^{2}\theta+\varepsilon_{\mathrm{y}}\sin^{2}\theta.

Passo 4

Agora substituímos \varepsilon_{\mathrm{x}} e \varepsilon_{\mathrm{y}} (do Passo 2) na expressão de \varepsilon_{n}.
Primeiro escrevo E numa unidade compatível com as tensões (vou usar \mathrm{MPa}): E=87\\ \mathrm{GPa}=87\,000\\ \mathrm{MPa}.
Substituindo:
\varepsilon_{n}=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_{\mathrm{x}}-\nu\sigma_{\mathrm{y}}\bigr)\cos^{2}\theta +\frac{1}{E}\bigl(\sigma_{\mathrm{y}}-\nu\sigma_{\mathrm{x}}\bigr)\sin^{2}\theta.
Factorizando 1/E:
\varepsilon_{n}=\frac{1}{E}\Bigl[\bigl(\sigma_{\mathrm{x}}-\nu\sigma_{\mathrm{y}}\bigr)\cos^{2}\theta +\bigl(\sigma_{\mathrm{y}}-\nu\sigma_{\mathrm{x}}\bigr)\sin^{2}\theta\Bigr].
Agora coloco os valores numéricos das tensões e de \nu dentro dos colchetes (em \mathrm{MPa}):
\sigma_{\mathrm{x}}-\nu\sigma_{\mathrm{y}}=210-0,34\cdot160=210-54,4=155,6\\ \mathrm{MPa},
\sigma_{\mathrm{y}}-\nu\sigma_{\mathrm{x}}=160-0,34\cdot210=160-71,4=88,6\\ \mathrm{MPa}.
Logo:
\varepsilon_{n}=\frac{1}{87\,000}\bigl(155,6\cos^{2}\theta+88,6\sin^{2}\theta\bigr).
Podemos rearranjar para uma forma ligeiramente mais compacta:
\varepsilon_{n}=\frac{1}{87\,000}\bigl(88,6+67\cos^{2}\theta\bigr),
pois 155,6\cos^{2}\theta+88,6\sin^{2}\theta=88,6+(155,6-88,6)\cos^{2}\theta=88,6+67\cos^{2}\theta.

Passo 5

A variação absoluta de comprimento \Delta L_{BC} relaciona-se com a deformação normal por:
\Delta L_{BC}=L_{BC}\,\varepsilon_{n}.
Substituindo a expressão de \varepsilon_{n}:
\Delta L_{BC}=L_{BC}\,\frac{1}{87\,000}\bigl(88,6+67\cos^{2}\theta\bigr).
Isso é a expressão geral (adimensional para \varepsilon_{n}, \Delta L_{BC} tem as mesmas unidades de L_{BC}).
Exemplos de casos úteis (para você ver números concretos):
  • Se BC estiver alinhado com o eixo x (ou seja, \theta=0), então \cos^{2}0=1 e
\varepsilon_{n}=\varepsilon_{\mathrm{x}}=\frac{155,6}{87\,000}\approx0,0017887,
então \Delta L_{BC}\approx L_{BC}\cdot0,0017887.
  • Se BC estiver alinhado com o eixo y (ou seja, \theta=90^\circ), então \cos^{2}90^\circ=0 e
\varepsilon_{n}=\varepsilon_{\mathrm{y}}=\frac{88,6}{87\,000}\approx0,0010184,
então \Delta L_{BC}\approx L_{BC}\cdot0,0010184.

Passo 6

Resumo do procedimento prático para aplicar na prova:
  1. Identificar \theta (orientação do lado BC) e o comprimento inicial L_{BC}.
  2. Calcular \varepsilon_{n} por
\varepsilon_{n}=\frac{1}{87\,000}\bigl(88,6+67\cos^{2}\theta\bigr).
  1. Calcular \Delta L_{BC}=L_{BC}\,\varepsilon_{n}.
Se na prova o lado BC estiver paralelo a x ou a y, use as fórmulas dos exemplos (é mais rápido). Você consegue — respira fundo que a lógica é simples: converte tensões em deformações (Hooke), transforma para a direção do lado (fórmula de transformação), multiplica por L.

Resposta

Não é possível determinar numericamente \Delta L_{BC} porque faltam o comprimento inicial L_{BC} e a orientação \theta. Em função desses dados, a variação é
\Delta L_{BC}=L_{BC}\,\frac{1}{87\,000}\bigl(88,6+67\cos^{2}\theta\bigr).

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