Um tecido usado em estruturas infláveis está submetido a um carregamento biaxial que resulta em tensões normais
e
. Sabendo que as propriedades do tecido podem ser de aproximadamente
e
, determine a variação no comprimento
do lado AB
do lado AB
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede a variação do comprimento do lado AB:
- Tensões normais:
e . - Propriedades do material:
e . - Pergunta: determinar a variação no comprimento do lado AB (isto é,
).\n\nInformação que NÃO foi fornecida (e que influencia um valor numérico absoluto): o comprimento inicial de AB, , e a orientação de AB em relação aos eixos da placa/tecido. Como a figura não foi enviada, não podemos saber se AB está alinhado com o eixo ou com o eixo (ou outra orientação). Portanto, não há como dar um valor absoluto de sem essa informação. Neste exercício eu vou: - Mostrar o método correto e as fórmulas,
- Calcular a deformação no sentido
e no sentido , - Fornecer a variação
em função de para o caso em que AB esteja alinhado com (e também dar o caso para AB alinhado com ), e - Dar um exemplo numérico por unidade de comprimento (por exemplo, para
), já que o comprimento real não foi informado.
Passo 2
Conceito físico e hipótese usada (aula curta): quando um material isotrópico linear é carregado com tensões normais em duas direções planas (biaxial), as deformações lineares em cada direção são relacionadas às tensões por uma forma do “Hooke tridimensional” reduzida para o caso plano. Para uma lâmina fina (tecido) costuma-se usar a hipótese de estado plano de tensões (plane stress), que é adequada quando a espessura é pequena e não há tensão significativa na direção da espessura. Nesse caso as relações entre tensões e deformações são:
Explicando cada símbolo:
-
e são as deformações (variação relativa de comprimento) nas direções e (adimensionais). -
e são as tensões aplicadas nas direções e (unidade de pressão, aqui ). -
é o módulo de Young (rigidez longitudinal). -
é o coeficiente de Poisson (quantifica a contração/transverso quando se estica longitudinalmente).
A interpretação: a deformação numa direção resulta da tensão nessa direção, diminuída pelo efeito de Poisson causado pela tensão na direção ortogonal.
Passo 3
Preparar unidades e substituir dados nas fórmulas: antes de calcular, passo tudo para a mesma unidade. Vamos usar
para as tensões e
para
.
As tensões já estão em
:
,
. O coeficiente de Poisson é
.
Passo 4
Calcular a deformação em
passo a passo usando a fórmula:
Substituindo:
Interpretação:
significa que o comprimento aumenta cerca de
na direção
.
Passo 5
Calcular a deformação em
(útil caso AB esteja alinhado com
):
Passos numéricos:
Interpretação:
corresponde a um alongamento de cerca de
na direção
.
Passo 6
Relacionar deformação com variação de comprimento: a variação absoluta de comprimento
é a deformação multiplicada pelo comprimento inicial
:
Aplicando ao lado
:
- Se
estiver alinhado com :
- Se
estiver alinhado com :
Passo 7
Exemplos numéricos para visualizar (caso prático): como o enunciado não deu
, um jeito útil é dar a variação por metro.
- Para
e AB ao longo de :
- Para
e AB ao longo de :
Motivação prática: assim você sabe que para cada metro do lado AB, o aumento será cerca de
se AB estiver em
ou
se AB estiver em
.