Um tecido usado em estruturas infláveis está submetido a um carregamento biaxial que resulta em tensões normais σ_{\mathrm{x}}=210 \mathrm{MPa} e σ_{\mathrm{y}}=160 \mathrm{MPa}. Sabendo que as propriedades do tecido podem ser de aproximadamente \mathrm{E}=87 \mathrm{GPa} e v=0,34, determine a variação no comprimento
do lado AB

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede a variação do comprimento do lado AB:
  • Tensões normais: \sigma_{\mathrm{x}}=210\\ \mathrm{MPa} e \sigma_{\mathrm{y}}=160\\ \mathrm{MPa}.
  • Propriedades do material: E=87\\ \mathrm{GPa} e \nu=0,34.
  • Pergunta: determinar a variação no comprimento do lado AB (isto é, \Delta L_{AB}).\n\nInformação que NÃO foi fornecida (e que influencia um valor numérico absoluto): o comprimento inicial de AB, L_{AB}, e a orientação de AB em relação aos eixos x,y da placa/tecido. Como a figura não foi enviada, não podemos saber se AB está alinhado com o eixo x ou com o eixo y (ou outra orientação). Portanto, não há como dar um valor absoluto de \Delta L_{AB} sem essa informação. Neste exercício eu vou:
  • Mostrar o método correto e as fórmulas,
  • Calcular a deformação no sentido x e no sentido y,
  • Fornecer a variação \Delta L_{AB} em função de L_{AB} para o caso em que AB esteja alinhado com x (e também dar o caso para AB alinhado com y), e
  • Dar um exemplo numérico por unidade de comprimento (por exemplo, para L_{AB}=1\\ \mathrm{m}), já que o comprimento real não foi informado.

Passo 2

Conceito físico e hipótese usada (aula curta): quando um material isotrópico linear é carregado com tensões normais em duas direções planas (biaxial), as deformações lineares em cada direção são relacionadas às tensões por uma forma do “Hooke tridimensional” reduzida para o caso plano. Para uma lâmina fina (tecido) costuma-se usar a hipótese de estado plano de tensões (plane stress), que é adequada quando a espessura é pequena e não há tensão significativa na direção da espessura. Nesse caso as relações entre tensões e deformações são:
\varepsilon_{x}=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_{x}-\nu\,\sigma_{y}\bigr)
\varepsilon_{y}=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_{y}-\nu\,\sigma_{x}\bigr)
Explicando cada símbolo:
  • \varepsilon_{x} e \varepsilon_{y} são as deformações (variação relativa de comprimento) nas direções x e y (adimensionais).
  • \sigma_{x} e \sigma_{y} são as tensões aplicadas nas direções x e y (unidade de pressão, aqui \mathrm{MPa}).
  • E é o módulo de Young (rigidez longitudinal).
  • \nu é o coeficiente de Poisson (quantifica a contração/transverso quando se estica longitudinalmente).
    A interpretação: a deformação numa direção resulta da tensão nessa direção, diminuída pelo efeito de Poisson causado pela tensão na direção ortogonal.

Passo 3

Preparar unidades e substituir dados nas fórmulas: antes de calcular, passo tudo para a mesma unidade. Vamos usar \mathrm{MPa} para as tensões e \mathrm{MPa} para E.
E=87\\ \mathrm{GPa}=87\,000\\ \mathrm{MPa}.
As tensões já estão em \mathrm{MPa}: \sigma_{x}=210\\ \mathrm{MPa}, \sigma_{y}=160\\ \mathrm{MPa}. O coeficiente de Poisson é \nu=0,34.

Passo 4

Calcular a deformação em x passo a passo usando a fórmula:
\varepsilon_{x}=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_{x}-\nu\,\sigma_{y}\bigr).
Substituindo:
\nu\,\sigma_{y}=0,34\times160\\ \mathrm{MPa}=54,4\\ \mathrm{MPa}.
\sigma_{x}-\nu\,\sigma_{y}=210\\ \mathrm{MPa}-54,4\\ \mathrm{MPa}=155,6\\ \mathrm{MPa}.
\varepsilon_{x}=\frac{155,6\\ \mathrm{MPa}}{87\,000\\ \mathrm{MPa}}=0,001787\\ (\text{aprox.}).
Interpretação: \varepsilon_{x}\approx0,001787 significa que o comprimento aumenta cerca de 0{,}1787\% na direção x.

Passo 5

Calcular a deformação em y (útil caso AB esteja alinhado com y):
\varepsilon_{y}=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_{y}-\nu\,\sigma_{x}\bigr).
Passos numéricos:
\nu\,\sigma_{x}=0,34\times210\\ \mathrm{MPa}=71,4\\ \mathrm{MPa}.
\sigma_{y}-\nu\,\sigma_{x}=160\\ \mathrm{MPa}-71,4\\ \mathrm{MPa}=88,6\\ \mathrm{MPa}.
\varepsilon_{y}=\frac{88,6\\ \mathrm{MPa}}{87\,000\\ \mathrm{MPa}}=0,001018\\ (\text{aprox.}).
Interpretação: \varepsilon_{y}\approx0,001018 corresponde a um alongamento de cerca de 0{,}1018\% na direção y.

Passo 6

Relacionar deformação com variação de comprimento: a variação absoluta de comprimento \Delta L é a deformação multiplicada pelo comprimento inicial L_{0}:
\Delta L=\varepsilon\,L_{0}.
Aplicando ao lado AB:
  • Se AB estiver alinhado com x:
\Delta L_{AB}=\varepsilon_{x}\,L_{AB}=0,001787\;L_{AB}.
  • Se AB estiver alinhado com y:
\Delta L_{AB}=\varepsilon_{y}\,L_{AB}=0,001018\;L_{AB}.

Passo 7

Exemplos numéricos para visualizar (caso prático): como o enunciado não deu L_{AB}, um jeito útil é dar a variação por metro.
  • Para L_{AB}=1\\ \mathrm{m} e AB ao longo de x:
\Delta L_{AB}=0,001787\times1\\ \mathrm{m}=0,001787\\ \mathrm{m}=1,787\\ \mathrm{mm}.
  • Para L_{AB}=1\\ \mathrm{m} e AB ao longo de y:
\Delta L_{AB}=0,001018\times1\\ \mathrm{m}=0,001018\\ \mathrm{m}=1,018\\ \mathrm{mm}.
Motivação prática: assim você sabe que para cada metro do lado AB, o aumento será cerca de 1{,}787\\ \mathrm{mm} se AB estiver em x ou 1{,}018\\ \mathrm{mm} se AB estiver em y.

Resposta

\Delta L_{AB}=0,001787\;L_{AB} (se AB estiver alinhado com x).\n \Delta L_{AB}=0,001018\;L_{AB} (se AB estiver alinhado com y).\n(Ex.: para L_{AB}=1\\ \mathrm{m}, \Delta L_{AB}=1,787\\ \mathrm{mm} em x ou \Delta L_{AB}=1,018\\ \mathrm{mm} em y.)

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