1. Dependendo da natureza do gás, da temperatura e da pressão é possível observar diferentes relações entre a pressão e o fator de compressibilidade. Há variações de pressões em que é observado a diminuição no valor do fator de compressibilidade e há variações de pressão em que é observado o aumento no valor do fator de compressibilidade. Sabendo que é possível obter um gráfico Z vs 1 / \mathrm{V}_{\mathrm{m}} com o mesmo perfil do gráfico \mathrm{Z} v s \mathrm{P} e que o segundo e o terceiro coeficiente de virial para o oxigênio são respectivamente -16,1 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{3} \mathrm{~mol}^{-1} e 1200 \times 10^{-12} \mathrm{~m}^{6} \mathrm{~mol}^{-2} a 298,15 \mathrm{~K} (a) determine os valores de volume em que teremos inclinações positivas e negativas do gráfico Z vs 1 / V_{\mathrm{m}} e (b) o valor do volume molar em que predominarão as forças de repulsão entre as moléculas.
  2. Seria possível que uma amostra de 25 g de Ar gasoso, em vaso de volume igual a 1,5 \mathrm{~L}, exercesse uma pressão de 2,0 bar, a 30^{\circ} \mathrm{C}, se o seu comportamento fosse de um gás perfeito? Em caso negativo, qual seria a pressão do gás? Que pressão o argônio teria se ele fosse um gás de van der Waals? ( \mathrm{a} / \mathrm{atm} \mathrm{L}^{2} \mathrm{~mol}^{-2}=1,337 \mathrm{e} \mathrm{b} / 10^{-2} \mathrm{~L} \mathrm{~mol}^{-1}=3,2 )

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado pede e quais dados foram fornecidos.
Para o exercício 02:
  • Pede (a) determinar os volumes onde o gráfico Z vs 1/V_{\mathrm{m}} terá inclinações positivas e negativas; (b) indicar o valor do volume molar em que predominarão as forças de repulsão.
  • Dados fornecidos a 298{,}15\\ \mathrm{K}: B = -16{,}1\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}, \qquad C = 1200\times10^{-12}\\ \mathrm{m}^{6}\,\mathrm{mol}^{-2} = 1{,}2\times10^{-9}\\ \mathrm{m}^{6}\,\mathrm{mol}^{-2}.
  • Informação adicional do enunciado: o gráfico Z vs 1/V_{\mathrm{m}} tem o mesmo perfil do gráfico Z vs P. (Vamos usar a expansão de virial truncada até o termo cúbico em densidade.)
Para o exercício 03:
  • Queremos saber se uma amostra de 25\\ \mathrm{g} de \mathrm{Ar} num vaso de volume 1{,}5\\ \mathrm{L} a 30^\circ\mathrm{C} poderia exercer 2{,}0\\ \mathrm{bar} se fosse gás perfeito; em caso negativo, calcular a pressão ideal prevista e a pressão prevista pelo modelo de van der Waals.
  • Dados fornecidos: m = 25\\ \mathrm{g},\qquad V=1{,}5\\ \mathrm{L},\qquad T=30^\circ\mathrm{C}=303{,}15\\ \mathrm{K},massa molar do argônio M(\mathrm{Ar})\approx39{,}948\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}.
  • Constantes de van der Waals fornecidas: a = 1{,}337\\ \mathrm{atm}\,\mathrm{L}^{2}\,\mathrm{mol}^{-2},\qquad b = 3{,}2\times10^{-2}\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}.
  • Usarei a constante dos gases R=0{,}08206\\ \mathrm{L}\,\mathrm{atm}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}.

Passo 2

Entendendo a expansão de virial e a relação com o gráfico pedido (aula rápida e concreta).
  • A expansão de virial na forma que relaciona o fator de compressibilidade Z com o volume molar V_{\mathrm{m}} é, truncando até o segundo e terceiro coeficiente: Z = 1 + \frac{B}{V_{\mathrm{m}}} + \frac{C}{V_{\mathrm{m}}^{2}}.Onde:
    • Z é o fator de compressibilidade definido por Z=\dfrac{P V_{\mathrm{m}}}{R T}.
    • B e C são os coeficientes de virial dependentes da temperatura, com unidades tais que cada termo é adimensional quando dividido por V_{\mathrm{m}} nas unidades adequadas; aqui usamos B em \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1} e C em \mathrm{m}^{6}\,\mathrm{mol}^{-2}.
  • Se fizermos a variável do eixo horizontal x=\dfrac{1}{V_{\mathrm{m}}} (como pede o enunciado: gráfico Z vs 1/V_{\mathrm{m}}), então substituímos V_{\mathrm{m}}=1/x e obtemos uma parábola: Z(x)=1 + Bx + Cx^{2}.
  • A inclinação do gráfico Z em função de x é a derivada: \frac{dZ}{dx} = B + 2Cx.Essa expressão é crucial: o sinal de \dfrac{dZ}{dx} determina se a curva está subindo (sinal positivo) ou descendo (sinal negativo) quando aumentamos x=1/V_{\mathrm{m}}.

Passo 3

Encontrar o ponto de troca de sinal da inclinação (o ponto onde a inclinação é nula) — ao resolver B + 2Cx = 0.
  • Condição de mudança de sinal: B + 2C x_{\mathrm{crit}} = 0 \quad\Rightarrow\quad x_{\mathrm{crit}} = -\frac{B}{2C}.
  • Substituindo os valores numéricos dados (usei as unidades fornecidas): B = -16{,}1\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1},\qquad C = 1{,}2\times10^{-9}\\ \mathrm{m}^{6}\,\mathrm{mol}^{-2}.Portanto x_{\mathrm{crit}} = -\frac{-16{,}1\times10^{-6}}{2\times1{,}2\times10^{-9}} = \frac{16{,}1\times10^{-6}}{2{,}4\times10^{-9}}.

Passo 4

Calcular numericamente x_{\mathrm{crit}} e converter para volume molar crítico V_{\mathrm{m,crit}} = 1/x_{\mathrm{crit}}.
  • Cálculo de x_{\mathrm{crit}}: x_{\mathrm{crit}} \approx \frac{16{,}1\times10^{-6}}{2{,}4\times10^{-9}} \approx 6\,708{,}33\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{m}^{-3}.(Unidade: x=1/V_{\mathrm{m}} tem unidade \mathrm{mol}\,\mathrm{m}^{-3} porque V_{\mathrm{m}} está em \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}.)
  • Volume molar crítico: V_{\mathrm{m,crit}} = \frac{1}{x_{\mathrm{crit}}} \approx \frac{1}{6\,708{,}33}\\ \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1} \approx 1{,}49\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}.
  • Convertendo para litros por mol ( 1\\ \mathrm{m}^{3}=1000\\ \mathrm{L}): V_{\mathrm{m,crit}} \approx 0{,}149\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}.

Passo 5

Interpretação do sinal da inclinação e resposta à parte (a).
  • Lembrete: \dfrac{dZ}{dx}=B+2Cx.
  • Como B<0 e C>0, para valores pequenos de x (i.e., grandes volumes molares V_{\mathrm{m}}) o termo B domina e a inclinação é negativa; para x suficientemente grande (i.e., volumes molares pequenos) o termo 2Cx supera |B| e a inclinação torna-se positiva.
  • Assim:
    • Inclinação negativa quando x < x_{\mathrm{crit}}, isto é quando V_{\mathrm{m}} > V_{\mathrm{m,crit}}.
    • Inclinação positiva quando x > x_{\mathrm{crit}}, isto é quando V_{\mathrm{m}} < V_{\mathrm{m,crit}}.

Passo 6

Resposta à parte (b): onde predominam as forças de repulsão.
  • Fisicamente, aumentos de Z com aumento da densidade (ou com aumento de x=1/V_{\mathrm{m}}) indicam que as interações repulsivas entre moléculas estão dominando (elas tornam o gás “mais difícil” de comprimir, elevando Z).
  • Portanto o regime em que as forças de repulsão predominam corresponde a x>x_{\mathrm{crit}}, ou seja a volumes molares menores que V_{\mathrm{m,crit}}.
  • O volume molar de transição — o valor onde começa a predominar a repulsão — é V_{\mathrm{m,crit}}\approx 1{,}49\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1} = 0{,}149\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}.

Passo 7

Agora passo para o exercício 03 — cálculo do número de mols de argônio (aula prática de método).
  • Número de mols: n = \frac{m}{M} = \frac{25\\ \mathrm{g}}{39{,}948\\ \mathrm{g}\,\mathrm{mol}^{-1}} \approx 0{,}6258\\ \mathrm{mol}.

Passo 8

Verificar se a pressão de 2{,}0\\ \mathrm{bar} seria compatível com gás ideal; calcular a pressão ideal real prevista.
  • Equação do gás ideal (lembrando unidades compatíveis): P_{\mathrm{ideal}} = \frac{n R T}{V}.
  • Substituindo n\approx0{,}6258\\ \mathrm{mol}, R=0{,}08206\\ \mathrm{L}\,\mathrm{atm}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}, T=303{,}15\\ \mathrm{K}, V=1{,}5\\ \mathrm{L}: P_{\mathrm{ideal}} \approx \frac{0{,}6258\times0{,}08206\times303{,}15}{1{,}5}\\ \mathrm{atm} \approx 10{,}43\\ \mathrm{atm}.
  • Convertendo para bar ( 1\\ \mathrm{atm}=1{,}01325\\ \mathrm{bar}): P_{\mathrm{ideal}} \approx 10{,}43\times1{,}01325 \approx 10{,}57\\ \mathrm{bar}.
  • Conclusão: não é possível que o gás perfeito exerca apenas 2{,}0\\ \mathrm{bar}; o valor previsto pelo gás ideal é cerca de 10{,}6\\ \mathrm{bar}.

Passo 9

Calcular a pressão prevista pelo modelo de van der Waals (aula curta sobre a fórmula usada).
  • A equação de van der Waals na forma conveniente para obter P é: P = \frac{n R T}{V - n b} - a\frac{n^{2}}{V^{2}}.Onde:
    • a corrige as forças atrativas (subtrai um termo que diminui a pressão),
    • b corrige o volume disponível (subtrai do volume o volume ocupado pelas partículas).
  • Usaremos a=1{,}337\\ \mathrm{atm}\,\mathrm{L}^{2}\,\mathrm{mol}^{-2} e b=3{,}2\times10^{-2}\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1} e os valores já calculados para n, R, T, V.

Passo 10

Cálculo numérico da pressão de van der Waals.
  • Primeiro calcule V - n b: n b \approx 0{,}6258\times0{,}032 \approx 0{,}0200\\ \mathrm{L},
V - n b \approx 1{,}5 - 0{,}0200 = 1{,}4800\\ \mathrm{L}.
  • Termo de pressão “ideal corrigida”: \frac{n R T}{V - n b} \approx \frac{0{,}6258\times0{,}08206\times303{,}15}{1{,}4800}\\ \mathrm{atm} \approx 10{,}57\\ \mathrm{atm}.
  • Termo de correção atrativa: a\frac{n^{2}}{V^{2}} \approx 1{,}337\times\frac{(0{,}6258)^{2}}{(1{,}5)^{2}} \approx 0{,}233\\ \mathrm{atm}.
  • Subtraindo: P_{\mathrm{vdW}} \approx 10{,}57 - 0{,}233 \approx 10{,}34\\ \mathrm{atm}.
  • Convertendo para bar: P_{\mathrm{vdW}} \approx 10{,}34\times1{,}01325 \approx 10{,}48\\ \mathrm{bar}.

Resposta

02(a) Inclinações positivas para V_{\mathrm{m}} < 1{,}49\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1} (i.e., V_{\mathrm{m}} < 0{,}149\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}); inclinações negativas para V_{\mathrm{m}} > 1{,}49\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1} (i.e., V_{\mathrm{m}} > 0{,}149\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}).
02(b) Volume molar de transição onde predominam as repulsões: V_{\mathrm{m,crit}}\approx 1{,}49\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{3}\,\mathrm{mol}^{-1}=0{,}149\\ \mathrm{L}\,\mathrm{mol}^{-1}.
03 Não — um gás perfeito com esses dados exerceria P_{\mathrm{ideal}}\approx 10{,}43\\ \mathrm{atm}\\ (\approx 10{,}57\\ \mathrm{bar}).
03 Pressão pelo modelo de van der Waals: P_{\mathrm{vdW}}\approx 10{,}34\\ \mathrm{atm}\\ (\approx 10{,}48\\ \mathrm{bar}).

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