1. Calcule o volume molar do cloro a 350 K e 2,30 \mathrm{~atm} com (a) a equação do gás perfeito e (b) com a equação de van der Waals. Use a resposta do item (a) para calcular uma primeira aproximação do termo corretivo da atração e depois faça aproximações sucessivas para chegar à resposta de (b). (Constantes de van der Waals para o cloro: \mathrm{a} / \mathrm{atm} \mathrm{L}^{2} \mathrm{~mol}^{-2}=6,20 \mathrm{e} \mathrm{b} / 10^{-2} \mathrm{~L} \mathrm{~mol}^{-1}=5,42 )
  2. (a) Seria possível que uma amostra de 131,3 \mathrm{~g} de xenônio gasoso, em vaso de volume igual a 1,0 \mathrm{~L}, exercesse uma pressão de 20 atm , a 25^{\circ} \mathrm{C}, quando o fator de compressibilidade for igual a 1? (b) que pressão teria o xenônio para fator de compressibilidade diferente de 1 ? ( a=4,137 \mathrm{~atm} \mathrm{~L}^{2} \mathrm{~mol}^{-2} e b=5,16 \times 10^{-2} \mathrm{~L} \mathrm{mol}^{-1} )

Passo 1

Vou listar com calma o que cada item pede e todos os dados que temos — sem resolver nada ainda, só organizando a bagunça (respira — a gente resolve passo a passo).
Questão 04:
  • Pergunta (a): calcular o volume molar do cloro nas condições T=350\\ \mathrm{K} e P=2{,}30\\ \mathrm{atm} usando a equação do gás perfeito.
  • Pergunta (b): calcular o volume molar do cloro nas mesmas condições usando a equação de van der Waals. O enunciado pede que usemos a resposta do item (a) para obter uma primeira aproximação do termo corretivo da atração e então façamos aproximações sucessivas até convergir.
  • Dados (pego do enunciado): constantes de van der Waals para o cloro: \displaystyle a=6{,}20\\ \mathrm{atm\;L^{2}\;mol^{-2}} e \displaystyle b=5{,}42\times10^{-2}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.
  • Constante dos gases (vou usar): \displaystyle R=0{,}082057\\ \mathrm{L\;atm\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
Questão 05:
  • (a) Pergunta: seria possível que uma amostra de 131{,}3\\ \mathrm{g} de xenônio gasoso, em vaso de volume igual a 1{,}0\\ \mathrm{L}, exercesse pressão de 20\\ \mathrm{atm} a 25^\circ\mathrm{C} quando o fator de compressibilidade Z for igual a 1?
  • (b) Pergunta: que pressão teria o xenônio se o fator de compressibilidade for diferente de 1? (ou seja, calcular considerando não-idealidade; o enunciado fornece constantes de van der Waals para o xenônio).
  • Dados (pego do enunciado): massa da amostra =131{,}3\\ \mathrm{g}; volume V=1{,}0\\ \mathrm{L}; temperatura 25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K}. Constantes de van der Waals para xenônio: \displaystyle a=4{,}137\\ \mathrm{atm\;L^{2}\;mol^{-2}} e \displaystyle b=5{,}16\times10^{-2}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.
  • Massa molar do xenônio (usarei o valor implícito pelo enunciado): \displaystyle M_{\text{Xe}}=131{,}3\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.

Passo 2

Entendendo as fórmulas básicas que vamos usar (aulas rápidas e práticas).
  1. Gás perfeito (lei dos gases ideais): a relação entre pressão P, volume V, número de mols n, constante R e temperatura T é
PV=nRT.
  • Aqui P em \mathrm{atm}, V em \mathrm{L}, n em \mathrm{mol}, R em \mathrm{L\;atm\;mol^{-1}\;K^{-1}}, T em \mathrm{K}.
  • Para volume molar V_m (volume por mol) usamos V_m=\dfrac{V}{n}. Da lei dos gases ideais, isolando V_m obtemos
V_m=\frac{RT}{P}.
  1. Equação de van der Waals (modelo simples para gases reais): para 1 mol (ou em forma por mol), a equação é
\left(P+\frac{a}{V_m^2}\right)\left(V_m-b\right)=RT,
onde:
  • \displaystyle a corrige a pressão devido às forças de atração entre moléculas (unidades \mathrm{atm\;L^{2}\;mol^{-2}});
  • \displaystyle b corrige o volume disponível por mol devido ao volume finito das moléculas (unidades \mathrm{L\;mol^{-1}});
  • V_m é o volume molar \mathrm{(L\;mol^{-1})}.
    Podemos reescrever para pressão:
P=\frac{RT}{V_m-b}-\frac{a}{V_m^2}.
  1. Método iterativo que vamos usar (pedido do enunciado): a forma conveniente para iterar é isolar V_m:
V_m = b + \frac{RT}{P + \dfrac{a}{V_m^2}}.
A ideia: começar com V_m^{(0)} dado pelo gás ideal e repetir
V_m^{(k+1)} = b + \frac{RT}{P + \dfrac{a}{(V_m^{(k)})^2}}
até a variação ser pequena (convergência). Vou explicar cada número quando aplicar.

Passo 3

Resolvendo a Questão 04 — parte (a): volume molar pelo gás perfeito.
  • Usamos \displaystyle V_m=\frac{RT}{P}.
  • Substituindo números: \displaystyle R=0{,}082057, \displaystyle T=350\\ \mathrm{K}, \displaystyle P=2{,}30\\ \mathrm{atm}.
V_m^{\text{ideal}}=\frac{0{,}082057\times350}{2{,}30}.
Vou calcular passo a passo:
  • Primeiro RT=0{,}082057\times350=28{,}71995.
  • Depois V_m^{\text{ideal}}=\dfrac{28{,}71995}{2{,}30}=12{,}4978\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.
    Arredondando adequadamente para os cálculos futuros vou guardar V_m^{(0)}=12{,}4978\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.

Passo 4

Resolvendo a Questão 04 — parte (b): van der Waals por aproximações sucessivas (iterativo).
  • Vou usar a=6{,}20 e b=5{,}42\times10^{-2}=0{,}0542\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.
  • Fórmula de iteração:
V_m^{(k+1)} = b + \frac{RT}{P + \dfrac{a}{(V_m^{(k)})^2}}.
  • Começo com V_m^{(0)}=V_m^{\text{ideal}}=12{,}4978\\ \mathrm{L\;mol^{-1}} (calculado no Passo 3).
    Agora as iterações (vou mostrar as contas numéricas com cuidado):
Iteração 1 (usando V_m^{(0)}):
\frac{a}{(V_m^{(0)})^2}=\frac{6{,}20}{(12{,}4978)^2}.
Calculo:
  • (12{,}4978)^2\approx156{,}20.
  • \dfrac{6{,}20}{156{,}20}\approx0{,}03968\\ \mathrm{atm}.
    Então denominador P+\dfrac{a}{V^2}=2{,}30+0{,}03968=2{,}33968\\ \mathrm{atm}.
\frac{RT}{\text{den}}=\frac{28{,}71995}{2{,}33968}\approx12{,}274\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.
Somando b:
V_m^{(1)}=0{,}0542+12{,}274=12{,}328\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.

Passo 5

Continuando as iterações para van der Waals (Questão 04 — continuação):
Iteração 2 (usando V_m^{(1)}=12{,}328):
\frac{a}{(V_m^{(1)})^2}=\frac{6{,}20}{(12{,}328)^2}.
Calculo:
  • (12{,}328)^2\approx151{,}98.
  • \dfrac{6{,}20}{151{,}98}\approx0{,}04080\\ \mathrm{atm}.
    Denominador =2{,}30+0{,}04080=2{,}34080\\ \mathrm{atm}.
\frac{RT}{\text{den}}=\frac{28{,}71995}{2{,}34080}\approx12{,}265\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.
Somando b:
V_m^{(2)}=0{,}0542+12{,}265=12{,}319\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.
Iteração 3 (usando V_m^{(2)}=12{,}319):
\frac{a}{(V_m^{(2)})^2}=\frac{6{,}20}{(12{,}319)^2}\approx0{,}04085\\ \mathrm{atm},
denominador =2{,}34085\\ \mathrm{atm},
\frac{RT}{\text{den}}\approx12{,}2647\\ \mathrm{L\;mol^{-1}},
V_m^{(3)}\approx0{,}0542+12{,}2647=12{,}3189\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.
A diferença entre V_m^{(2)} e V_m^{(3)} é da ordem de 10^{-4}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}, ou seja, já convergiu muito bem para prática de prova.
Portanto o volume molar usando van der Waals (valor convergido) é aproximadamente 12{,}319\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.

Passo 6

Breve interpretação física (didática e prática para prova):
  • Pelo gás ideal obtivemos V_m^{\text{ideal}}\approx12{,}4978\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.
  • Pela van der Waals obtemos V_m\approx12{,}319\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}. A correção não é enorme porque a pressão 2{,}30\\ \mathrm{atm} e a temperatura 350\\ \mathrm{K} não são extremas; mas dá para ver que as forças de atração (termo \dfrac{a}{V_m^2}) reduzem efetivamente o volume molar comparado ao ideal (a interação atrativa faz com que, para mesma P,T, o volume seja um pouco menor do que o previsto pelo ideal).
  • Em prova: expliquei e mostrei um método de iteração simples e seguro — comece por V_m ideal, calcule a/V_m^2, atualize V_m por b+RT/(P+a/V_m^2) e repita até estabilidade.

Passo 7

Resolvendo a Questão 05 — parte (a): verificar possibilidade sob hipótese Z=1 (gás ideal).
  • Primeiro calculamos quantos mols de xenônio há:
n=\frac{\text{massa}}{M}=\frac{131{,}3\\ \mathrm{g}}{131{,}3\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}}=1{,}00\\ \mathrm{mol}.
  • Usando a lei dos gases ideais P=\dfrac{nRT}{V} com n=1{,}00, R=0{,}082057, T=298{,}15\\ \mathrm{K}, V=1{,}0\\ \mathrm{L}:
P_{\text{ideal}}=\frac{1{,}00\times0{,}082057\times298{,}15}{1{,}0}.
Cálculo:
  • RT=0{,}082057\times298{,}15\approx24{,}466.
  • Logo P_{\text{ideal}}\approx24{,}466\\ \mathrm{atm}.
    Conclusão para (a): se o fator de compressibilidade Z for igual a 1 (gás ideal), a pressão que essa quantidade de xenônio ocupa em 1{,}0\\ \mathrm{L} a 25^\circ\mathrm{C} é aproximadamente 24{,}47\\ \mathrm{atm}. Portanto NÃO seria possível que a mesma amostra apresentasse exatamente 20\\ \mathrm{atm} sob a hipótese Z=1 — a pressão está fixada pela equação dos gases ideais e seria cerca de 24{,}47\\ \mathrm{atm}.

Passo 8

Resolvendo a Questão 05 — parte (b): pressão real usando van der Waals (fator de compressibilidade diferente de 1).
  • Usamos a forma:
P=\frac{nRT}{V-nb}-\frac{a n^2}{V^2}.
Como n=1{,}00 e V=1{,}0\\ \mathrm{L}, isso simplifica para:
P=\frac{RT}{V-b}-\frac{a}{V^2}.
  • Substituindo números: RT\approx24{,}466\\ \mathrm{L\;atm\;mol^{-1}}, b=5{,}16\times10^{-2}=0{,}0516\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}, a=4{,}137\\ \mathrm{atm\;L^{2}\;mol^{-2}}, V=1{,}0\\ \mathrm{L}.
    Calculemos:
V-b=1{,}0-0{,}0516=0{,}9484\\ \mathrm{L}.
\frac{RT}{V-b}=\frac{24{,}466}{0{,}9484}\approx25{,}787\\ \mathrm{atm}.
\frac{a}{V^2}=\frac{4{,}137}{1{,}0^2}=4{,}137\\ \mathrm{atm}.
Logo
P_{\text{vdW}}=25{,}787-4{,}137=21{,}650\\ \mathrm{atm}.
Arredondando razoavelmente: P_{\text{vdW}}\approx21{,}65\\ \mathrm{atm}.
Interpretação rápida: o efeito de b (volume finito das moléculas) aumenta a pressão calculada se compararmos apenas com aplicar RT/V (porque o volume útil é menor), mas o termo -a/V^2 reduz a pressão por conta das atrações intermoleculares; no total, a pressão real ficou entre 20 e 24{,}47, aqui \approx21{,}65\\ \mathrm{atm}.

Resposta

(04a) V_m^{\text{ideal}}=12{,}4978\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.\n(04b) V_m^{\text{vdW}}\approx12{,}319\\ \mathrm{L\;mol^{-1}}.\n(05a) Não; para Z=1 a pressão seria P_{\text{ideal}}\approx24{,}47\\ \mathrm{atm}, não 20\\ \mathrm{atm}.\n(05b) Usando van der Waals: P_{\text{vdW}}\approx21{,}65\\ \mathrm{atm}.

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