Um depósito de \ 8.000,00 é efetuado num fundo de poupança que rende juros deéç2,1 %$ a.m. Após 5 meses, o depositante decide retirar sua poupança em 12 parcelas mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira 30 dias após. Admitindo a manutenção da mesma taxa de juros para todo o período, determinar o valor das parcelas que serão sacadas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa. Informações:
  • Depósito inicial de \$\,8.000,00.
  • Taxa de juros nominal de 2,1\% ao mês (ou seja, i=0,021 por mês).
  • O depósito permanece aplicado por \,5 meses, acumulando juros compostos nesse período.
  • Após esses \,5 meses, o titular decide retirar o saldo em \,12 parcelas mensais iguais e sucessivas, com a primeira parcela vencendo 30 dias após o quinto mês (isto é, é uma anuidade ordinária de 12 meses).
    Pergunta: determinar o valor de cada parcela mensal (cada saque), admitindo que a taxa permaneça 2{,}1\% a.m.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado devagar): juros compostos e valor presente de uma anuidade.
  • Juros compostos: quando um capital P cresce à taxa mensal i por n meses, o montante A é dado por
A = P(1+i)^n,
onde P é o capital inicial, i a taxa por período (em forma decimal) e n o número de períodos. Aqui P=\$\,8.000,00, i=0{,}021 e n=5.
  • Anuidade ordinária (pagamentos iguais no final de cada período): o valor presente PV de uma série de n pagamentos iguais R à taxa i por período é
PV = R\cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Essa fórmula vem da soma de uma progressão geométrica. As variáveis: R é o valor da parcela que queremos, n é o número de parcelas e i é a taxa por período. No nosso problema, o montante acumulado após os 5 meses será o PV (valor disponível no tempo em que se começa a sacar), e deverá ser igual à expressão do lado direito com n=12.

Passo 3

Calcular o montante após \,5 meses (usar a fórmula de juros compostos). Aplicando
S = 8.000\,(1+0{,}021)^5,
vamos calcular passo a passo (1+0{,}021)^5. Multiplicando mês a mês:
(1{,}021)^1=1{,}021,
(1{,}021)^2\approx1{,}042441,
(1{,}021)^3\approx1{,}064332261,
(1{,}021)^4\approx1{,}08668323848,
(1{,}021)^5\approx1{,}10950358548.
Portanto
S = 8.000\times1{,}10950358548 \approx \$\,8.876{,}02868385.
Esse é o saldo disponível após os 5 meses e é o valor presente (no instante logo após o 5.º mês) da anuidade de \,12 parcelas.

Passo 4

Expressar que esse montante S será equalizado pela anuidade de 12 parcelas R. Usamos a fórmula do valor presente da anuidade ordinária:
S = R\cdot \frac{1-(1+i)^{-12}}{i}.
Aqui i=0{,}021. Nosso objetivo é isolar R:
R = S\cdot \frac{i}{1-(1+i)^{-12}}.
Vou explicar rapidamente de onde vem a fórmula: a soma de R/(1+i), R/(1+i)^2, …, R/(1+i)^{12} é uma soma geométrica com razão 1/(1+i); ao somar e manipular obtém-se a expressão \dfrac{1-(1+i)^{-12}}{i}.

Passo 5

Calcular numericamente o fator (1+i)^{12} e depois (1+i)^{-12}. Fazendo a sequência (já tínhamos (1+i)^5):
(1{,}021)^6\approx1{,}13280315978,
(1{,}021)^7\approx1{,}15659202613,
(1{,}021)^8\approx1{,}18088045868,
(1{,}021)^9\approx1{,}20567894831,
(1{,}021)^{10}\approx1{,}23099820623,
(1{,}021)^{11}\approx1{,}25684916856,
(1{,}021)^{12}\approx1{,}28324300110.
Então
(1+i)^{-12} = (1{,}021)^{-12} \approx \frac{1}{1{,}28324300110} \approx 0{,}7792754.
Agora calcule o fator da anuidade:
\frac{1-(1+i)^{-12}}{i} \approx \frac{1-0{,}7792754}{0{,}021} = \frac{0{,}2207246}{0{,}021} \approx 10{,}51069524.
Esse número é o fator que transforma cada parcela R no valor presente S.

Passo 6

Finalmente, calcule R dividindo o saldo S pelo fator da anuidade:
R = \frac{S}{\displaystyle\frac{1-(1+i)^{-12}}{i}} \approx \frac{8.876{,}02868385}{10{,}51069524} \approx 844{,}48.
Arredondando para centavos, cada parcela mensal será de aproximadamente \$\,844{,}48.

Resposta

\$\,844{,}48

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