Um depósito de
8.000,00
2,1 %$ a.m. Após 5 meses, o depositante decide retirar sua poupança em 12 parcelas mensais, iguais e sucessivas, vencendo a primeira 30 dias após. Admitindo a manutenção da mesma taxa de juros para todo o período, determinar o valor das parcelas que serão sacadas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa. Informações:
- Depósito inicial de
. - Taxa de juros nominal de
ao mês (ou seja, por mês). - O depósito permanece aplicado por
meses, acumulando juros compostos nesse período. - Após esses
meses, o titular decide retirar o saldo em parcelas mensais iguais e sucessivas, com a primeira parcela vencendo dias após o quinto mês (isto é, é uma anuidade ordinária de meses).
Pergunta: determinar o valor de cada parcela mensal (cada saque), admitindo que a taxa permaneçaa.m.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado devagar): juros compostos e valor presente de uma anuidade.
- Juros compostos: quando um capital
cresce à taxa mensal por meses, o montante é dado por
onde
é o capital inicial,
a taxa por período (em forma decimal) e
o número de períodos. Aqui
,
e
.
- Anuidade ordinária (pagamentos iguais no final de cada período): o valor presente
de uma série de pagamentos iguais à taxa por período é
Essa fórmula vem da soma de uma progressão geométrica. As variáveis:
é o valor da parcela que queremos,
é o número de parcelas e
é a taxa por período. No nosso problema, o montante acumulado após os
meses será o
(valor disponível no tempo em que se começa a sacar), e deverá ser igual à expressão do lado direito com
.
Passo 3
Calcular o montante após
meses (usar a fórmula de juros compostos). Aplicando
vamos calcular passo a passo
. Multiplicando mês a mês:
Portanto
Esse é o saldo disponível após os
meses e é o valor presente (no instante logo após o 5.º mês) da anuidade de
parcelas.
Passo 4
Expressar que esse montante
será equalizado pela anuidade de
parcelas
. Usamos a fórmula do valor presente da anuidade ordinária:
Aqui
. Nosso objetivo é isolar
:
Vou explicar rapidamente de onde vem a fórmula: a soma de
,
, …,
é uma soma geométrica com razão
; ao somar e manipular obtém-se a expressão
.
Passo 5
Calcular numericamente o fator
e depois
. Fazendo a sequência (já tínhamos
):
Então
Agora calcule o fator da anuidade:
Esse número é o fator que transforma cada parcela
no valor presente
.
Passo 6
Finalmente, calcule
dividindo o saldo
pelo fator da anuidade:
Arredondando para centavos, cada parcela mensal será de aproximadamente
.