Uma camada de argila de 1,5 \mathrm{~m} de espessura está localizada entre 2 camadas drenantes. No centro da camada de argila, a tensão total vertical inicial é 200 kPa e a poro-pressão é 100 kPa .0 aumento de tensão vertical causado pela construção de uma estrutura, no centro da camada de argila, será de 100 kPa . Qual será a tensão vertical efetiva no centro da camada e o excesso de poro pressão quando 60 \% do recalque acontecer?

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre, no centro da camada de argila, dois valores quando 60\% do recalque já ocorreu:
  1. A tensão vertical efetiva.
  2. O excesso de poro-pressão remanescente.
Informações fornecidas pelo enunciado (vou listar exatamente os números que você deu):
  • Espessura da camada de argila: 1{,}5\\ \mathrm{m}.
  • A camada está entre duas camadas drenantes (isso indica que a dissipação de poro-pressão ocorre para as faces superior e inferior).
  • No centro da camada, tensão total vertical inicial: \sigma_0 = 200\\ \mathrm{kPa}.
  • No centro da camada, poro-pressão inicial: u_0 = 100\\ \mathrm{kPa}.
  • O aumento da tensão total causado pela construção (incremento de carga) no centro da camada: \Delta\sigma = 100\\ \mathrm{kPa}.
  • Queremos os valores quando 60\% do recalque (ou seja, grau de consolidação U=60\%) tiver ocorrido.

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicação didática e simples):
  • Tensão efetiva vertical: é a parte da tensão total que realmente é suportada pelos grãos do solo (matéria sólida). A fórmula fundamental é a lei de Terzaghi:
\sigma' = \sigma - u
onde:
  • \sigma é a tensão total vertical (kPa),
  • u é a poro-pressão (kPa),
  • \sigma' é a tensão efetiva (kPa).
  • Resposta imediata (comportamento não-drenado) e consolidação: para uma carga aplicada rapidamente sobre uma argila saturada, inicialmente a água nos poros não tem tempo de escapar, então a maior parte (ou todo) do incremento de tensão total aparece como aumento da poro-pressão. Assim, a excess pore pressure inicial (logo após a aplicação da carga) normalmente é \Delta u_0 = \Delta\sigma para uma argila saturada em condição não drenada imediata. À medida que a água drena, a poro-pressão diminui e a tensão efetiva aumenta; a soma continua valendo:
\Delta\sigma = \Delta u(t) + \Delta\sigma'(t)
onde \Delta u(t) é o excesso de poro-pressão restante no tempo t e \Delta\sigma'(t) é o aumento da tensão efetiva até t.
  • Relação com o grau de consolidação U: o grau de consolidação U (varia de 0 a 1) indica a fração do recalque (ou da dissipação de poro-pressão) já ocorrida. Para uma aproximação média simples usamos:
\Delta u(t) = (1-U)\,\Delta u_0
ou equivalentemente
\Delta\sigma'(t)=U\,\Delta\sigma
porque a parte da carga que já foi transferida para os grãos é exatamente a fração U do incremento total.
Vou usar essas fórmulas e explicar cada variável quando aparecer.

Passo 3

Calcule a tensão efetiva inicial (antes da construção), usando \sigma'_0=\sigma_0-u_0.
\sigma'_0 = 200\\ \mathrm{kPa} - 100\\ \mathrm{kPa} = 100\\ \mathrm{kPa}.
Interpretação rápida: antes da obra os grãos do solo suportavam 100\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Estado imediatamente após a aplicação da carga (resposta não-drenada instantânea):
  • A tensão total no centro fica
\sigma_{\text{inst}} = \sigma_0 + \Delta\sigma = 200\\ \mathrm{kPa} + 100\\ \mathrm{kPa} = 300\\ \mathrm{kPa}.
  • A poro-pressão imediata (excesso inicial somado à u_0) é, assumindo resposta não-drenada inicial total,
\Delta u_0 = \Delta\sigma = 100\\ \mathrm{kPa},
logo a poro-pressão imediata total é
u_{\text{inst}} = u_0 + \Delta u_0 = 100\\ \mathrm{kPa} + 100\\ \mathrm{kPa} = 200\\ \mathrm{kPa}.
  • A tensão efetiva imediata então é
\sigma'_{\text{inst}} = \sigma_{\text{inst}} - u_{\text{inst}} = 300\\ \mathrm{kPa} - 200\\ \mathrm{kPa} = 100\\ \mathrm{kPa},
ou seja, imediatamente não houve aumento da tensão efetiva (tudo ficou em poro-pressão).

Passo 5

Agora considere que o processo de consolidação avançou até U=60\%=0{,}6. Vamos usar as relações explicadas no Passo 2.
A excess pore pressure remanescente (a parte da excess pore pressure que ainda NÃO foi dissipada) é
\Delta u_{\text{rem}} = (1-U)\,\Delta u_0.
Substituindo \Delta u_0=100\\ \mathrm{kPa} e U=0{,}6:
\Delta u_{\text{rem}} = (1-0{,}6)\times 100\\ \mathrm{kPa} = 0{,}4\times 100\\ \mathrm{kPa}.
Ao mesmo tempo, o aumento da tensão efetiva até esse momento é
\Delta\sigma' = U\,\Delta\sigma = 0{,}6\times 100\\ \mathrm{kPa}.
Também vale a soma (cheque de consistência):
\Delta\sigma = \Delta u_{\text{rem}} + \Delta\sigma'.

Passo 6

Façamos as contas numéricas explicadas no Passo 5:
Cálculo do excesso de poro-pressão remanescente:
\Delta u_{\text{rem}} = 0{,}4\times 100\\ \mathrm{kPa} = 40\\ \mathrm{kPa}.
Poro-pressão total naquele instante:
u = u_0 + \Delta u_{\text{rem}} = 100\\ \mathrm{kPa} + 40\\ \mathrm{kPa} = 140\\ \mathrm{kPa}.
Aumento da tensão efetiva devido à dissipação:
\Delta\sigma' = 0{,}6\times 100\\ \mathrm{kPa} = 60\\ \mathrm{kPa}.
Tensão efetiva final (no centro, quando U=60\%):
\sigma' = \sigma'_0 + \Delta\sigma' = 100\\ \mathrm{kPa} + 60\\ \mathrm{kPa} = 160\\ \mathrm{kPa}.
Cheque rápido de consistência (somando efetiva + poro = total):
\sigma = \sigma' + u = 160\\ \mathrm{kPa} + 140\\ \mathrm{kPa} = 300\\ \mathrm{kPa},
que é a tensão total que calculamos no Passo 4. Então tudo bate.

Passo 7

Resumo (o que realmente importa para a resposta da questão):
  • A tensão efetiva no centro quando 60\% do recalque ocorreu é \sigma' = 160\\ \mathrm{kPa}.
  • O excesso de poro-pressão remanescente é \Delta u_{\text{rem}} = 40\\ \mathrm{kPa}.
Força final: você já entendeu o raciocínio principal — usar \sigma'=\sigma-u, reconhecer que a excess pore pressure inicial é igual ao incremento de carga numa resposta não-drenada e que a fração U desse incremento é transferida para a tensão efetiva. Dá pra aplicar isso rapidamente na prova 😃

Resposta

\sigma' = 160\\ \mathrm{kPa}
\Delta u_{\text{rem}} = 40\\ \mathrm{kPa}

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