Em um depósito contendo centenas de frascos de produtos cosméticos sabe-se que
dos produtos estão fora de especificação. São selecionados aleatoriamente 3 frascos para verificação do produto. Seja
o
número de frascos dentre os selecionados que estão fora da especificação.
Considere as seguintes proposições:
a) A probabilidade de que um dos frascos esteja fora de especificação é maior que a probabilidade de que nenhum esteja fora da especificação.
b)
.
c)
.
d)
.
Quais as proposições estão corretas?
número de frascos dentre os selecionados que estão fora da especificação.
Considere as seguintes proposições:
a) A probabilidade de que um dos frascos esteja fora de especificação é maior que a probabilidade de que nenhum esteja fora da especificação.
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede para avaliar quatro proposições:
- Informação dada: em um depósito grande (centenas de frascos) sabe-se que a fração dos produtos fora de especificação é
. - A amostra: são selecionados aleatoriamente
frascos. - Define-se a variável aleatória
= número de frascos dentre os que estão fora de especificação. - Perguntas (proposições a verificar):
a) A probabilidade de que um dos frascos esteja fora de especificação é maior que a probabilidade de que nenhum esteja fora da especificação.
b).
c).
d).
Passo 2
Escolhendo o modelo de probabilidade (explicação didática e justificativa).
- Como o depósito tem centenas de frascos, a amostra de
é muito pequena diante do total: retirar sem reposição praticamente não altera as probabilidades individuais. Por isso é apropriado modelar cada frasco como uma tentativa independente com probabilidade de “sucesso” (estar fora de especificação) igual a . - O modelo que descreve o número de sucessos em
tentativas independentes com mesma probabilidade é a distribuição binomial. Aqui e .
(Observação didática: se a população fosse pequena e sem reposição, usar-se-ia a distribuição hipergeométrica; aqui a aproximação binomial é a mais prática e padrão.)
Passo 3
Fórmula da distribuição binomial (aula rápida).
- Se
tem distribuição binomial com parâmetros e , então, para ,
- Explicando cada símbolo:
-
é a probabilidade de ocorrer exatamente sucessos. -
é o número total de tentativas ( aqui). -
é a probabilidade de sucesso em cada tentativa ( ). -
é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher quais das tentativas são sucessos).
-
- Cálculo prático dos coeficientes para
:
Passo 4
Cálculo de cada probabilidade necessária (contando passo a passo).
- Definimos
e . Vamos calcular para .
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
- Resumo das probabilidades em denominador comum
:
Passo 5
Verificação da proposição (a).
- A proposição afirma:
. - Comparando os valores:
e . - Como
, a proposição (a) é verdadeira.
Passo 6
Verificação da proposição (b).
- A proposição afirma:
. - Primeiro calcule
. - Comparando com
, temos . - Logo a proposição (b) é verdadeira.
Passo 7
Verificação da proposição (c).
- A proposição afirma:
. - Calculando
. - Como
, a igualdade é verdadeira. - Portanto a proposição (c) é verdadeira.
Passo 8
Verificação da proposição (d).
- A proposição afirma:
. - Temos
e . - Como
, a proposição (d) é falsa.
Passo 9
Conclusão final: as proposições verdadeiras e falsas estão identificadas com base nos cálculos acima. Mantendo em mente a interpretação prática: é mais provável obter exatamente um frasco fora de especificação do que nenhum, e a chance de obter dois ou três juntos é menor.
Resposta
a), b) e c) estão corretas.