Em um depósito contendo centenas de frascos de produtos cosméticos sabe-se que 1 / 3 dos produtos estão fora de especificação. São selecionados aleatoriamente 3 frascos para verificação do produto. Seja X o
número de frascos dentre os selecionados que estão fora da especificação.
Considere as seguintes proposições:
a) A probabilidade de que um dos frascos esteja fora de especificação é maior que a probabilidade de que nenhum esteja fora da especificação.
b) \mathbb{P}(X>1)<\mathbb{P}(X=1).
c) \mathbb{P}(X=1)=2 \mathbb{P}(X=2).
d) \mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(X=3).
Quais as proposições estão corretas?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede para avaliar quatro proposições:
  • Informação dada: em um depósito grande (centenas de frascos) sabe-se que a fração dos produtos fora de especificação é \tfrac{1}{3}.
  • A amostra: são selecionados aleatoriamente 3 frascos.
  • Define-se a variável aleatória X = número de frascos dentre os 3 que estão fora de especificação.
  • Perguntas (proposições a verificar):
    a) A probabilidade de que um dos frascos esteja fora de especificação é maior que a probabilidade de que nenhum esteja fora da especificação.
    b) \mathbb{P}(X>1) < \mathbb{P}(X=1).
    c) \mathbb{P}(X=1) = 2\,\mathbb{P}(X=2).
    d) \mathbb{P}(X=0) = \mathbb{P}(X=3).

Passo 2

Escolhendo o modelo de probabilidade (explicação didática e justificativa).
  • Como o depósito tem centenas de frascos, a amostra de 3 é muito pequena diante do total: retirar sem reposição praticamente não altera as probabilidades individuais. Por isso é apropriado modelar cada frasco como uma tentativa independente com probabilidade de “sucesso” (estar fora de especificação) igual a p=\tfrac{1}{3}.
  • O modelo que descreve o número de sucessos em n tentativas independentes com mesma probabilidade p é a distribuição binomial. Aqui n=3 e p=\tfrac{1}{3}.
    (Observação didática: se a população fosse pequena e sem reposição, usar-se-ia a distribuição hipergeométrica; aqui a aproximação binomial é a mais prática e padrão.)

Passo 3

Fórmula da distribuição binomial (aula rápida).
  • Se X tem distribuição binomial com parâmetros n e p, então, para k=0,1,\dots,n,
\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
  • Explicando cada símbolo:
    • \mathbb{P}(X=k) é a probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos.
    • n é o número total de tentativas ( n=3 aqui).
    • p é a probabilidade de sucesso em cada tentativa ( p=\tfrac{1}{3}).
    • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de maneiras de escolher quais k das n tentativas são sucessos).
  • Cálculo prático dos coeficientes para n=3: \binom{3}{0}=1,\qquad \binom{3}{1}=3,\qquad \binom{3}{2}=3,\qquad \binom{3}{3}=1.

Passo 4

Cálculo de cada probabilidade necessária (contando passo a passo).
  • Definimos p=\tfrac{1}{3} e 1-p=\tfrac{2}{3}. Vamos calcular \mathbb{P}(X=k) para k=0,1,2,3.
Para k=0:
\mathbb{P}(X=0)=\binom{3}{0}\left(\tfrac{1}{3}\right)^{0}\left(\tfrac{2}{3}\right)^{3} =1\cdot 1\cdot \left(\tfrac{2}{3}\right)^{3} =\left(\tfrac{2}{3}\right)^{3} =\tfrac{8}{27}.
Para k=1:
\mathbb{P}(X=1)=\binom{3}{1}\left(\tfrac{1}{3}\right)^{1}\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2} =3\cdot \tfrac{1}{3}\cdot \left(\tfrac{2}{3}\right)^{2} =1\cdot \left(\tfrac{4}{9}\right) =\tfrac{4}{9}=\tfrac{12}{27}.
Para k=2:
\mathbb{P}(X=2)=\binom{3}{2}\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}\left(\tfrac{2}{3}\right)^{1} =3\cdot \tfrac{1}{9}\cdot \tfrac{2}{3} =3\cdot \tfrac{2}{27} =\tfrac{6}{27}=\tfrac{2}{9}.
Para k=3:
\mathbb{P}(X=3)=\binom{3}{3}\left(\tfrac{1}{3}\right)^{3}\left(\tfrac{2}{3}\right)^{0} =1\cdot \left(\tfrac{1}{27}\right)\cdot 1 =\tfrac{1}{27}.
  • Resumo das probabilidades em denominador comum 27:
\mathbb{P}(X=0)=\tfrac{8}{27},\quad \mathbb{P}(X=1)=\tfrac{12}{27},\quad \mathbb{P}(X=2)=\tfrac{6}{27},\quad \mathbb{P}(X=3)=\tfrac{1}{27}.

Passo 5

Verificação da proposição (a).
  • A proposição afirma: \mathbb{P}(X=1)>\mathbb{P}(X=0).
  • Comparando os valores: \mathbb{P}(X=1)=\tfrac{12}{27} e \mathbb{P}(X=0)=\tfrac{8}{27}.
  • Como \tfrac{12}{27}>\tfrac{8}{27}, a proposição (a) é verdadeira.

Passo 6

Verificação da proposição (b).
  • A proposição afirma: \mathbb{P}(X>1)<\mathbb{P}(X=1).
  • Primeiro calcule \mathbb{P}(X>1)=\mathbb{P}(X=2)+\mathbb{P}(X=3)=\tfrac{6}{27}+\tfrac{1}{27}=\tfrac{7}{27}.
  • Comparando com \mathbb{P}(X=1)=\tfrac{12}{27}, temos \tfrac{7}{27}<\tfrac{12}{27}.
  • Logo a proposição (b) é verdadeira.

Passo 7

Verificação da proposição (c).
  • A proposição afirma: \mathbb{P}(X=1)=2\,\mathbb{P}(X=2).
  • Calculando 2\,\mathbb{P}(X=2)=2\cdot \tfrac{6}{27}=\tfrac{12}{27}.
  • Como \mathbb{P}(X=1)=\tfrac{12}{27}, a igualdade é verdadeira.
  • Portanto a proposição (c) é verdadeira.

Passo 8

Verificação da proposição (d).
  • A proposição afirma: \mathbb{P}(X=0)=\mathbb{P}(X=3).
  • Temos \mathbb{P}(X=0)=\tfrac{8}{27} e \mathbb{P}(X=3)=\tfrac{1}{27}.
  • Como \tfrac{8}{27}\neq \tfrac{1}{27}, a proposição (d) é falsa.

Passo 9

Conclusão final: as proposições verdadeiras e falsas estão identificadas com base nos cálculos acima. Mantendo em mente a interpretação prática: é mais provável obter exatamente um frasco fora de especificação do que nenhum, e a chance de obter dois ou três juntos é menor.

Resposta

a), b) e c) estão corretas.

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