Considere o experimento de lançamento de dois dados honestos. Seja X igual à diferença entre os dois valores obtidos nos lançamentos.
Considere as seguintes proposições:
a)
.
b)
.
c)
para
positivo.
d)
.
Quais as proposições estão corretas?
Considere as seguintes proposições:
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado nos dá o seguinte:
- Lançam-se dois dados honestos (justos), cada lançamento tem resultados
. - Denotar por
o resultado do primeiro dado e por o resultado do segundo dado. - A variável aleatória é
, definida como a diferença entre os dois valores obtidos; aqui tomamos explicitamente . - O espaço amostral tem
resultados igualmente prováveis (pares com ).
O que se pede: verificar a veracidade das proposições
a).
b).
c)para positivo.
d).
Passo 2
Vamos achar a função massa de probabilidade de
. Primeiro identificar os valores possíveis de
.
- Como
, os possíveis valores de são os inteiros
Cada par
tem probabilidade
.
Passo 3
Contar quantos pares geram uma dada diferença
. Para
:
- Condição
significa . - Para um
, pode ser , ou seja há pares. - Para
, a mesma contagem dá pares (simetria).
Portanto, o número de pares que produzemé . Assim a probabilidade é
Exemplos numéricos úteis:
e as probabilidades negativas são iguais às correspondentes positivas por dependerem de
.
Passo 4
Análise da proposição (a):
.
- Pela fórmula
vemos que a probabilidade depende apenas de , logo para todo no suporte. - Conclusão: a) é verdadeira.
Passo 5
Análise da proposição (b):
.
Calcular usando a fórmula:
Calcular usando a fórmula:
Portanto a igualdade vale. Conclusão: b) é verdadeira.
Passo 6
Análise da proposição (c):
para
positivo.
Usar a fórmula para :
Usar a fórmula para
Subtrair:
Isto mostra que
, ou seja o sinal está trocado em relação à proposição. A proposição afirmava um
, mas a diferença real é
. Conclusão: c) é falsa. (Por exemplo, para
:
e
.)
Passo 7
Análise da proposição (d):
.
Interpretar os eventos:
Interpretar os eventos:
-
significa (valores ). -
significa (valores ).
Note quepor complementaridade.
Mas. Como , não se tem . Vamos calcular numericamente:
As probabilidades de
a
somam
(onde
é soma de
a
e
é
), logo
Como
, a igualdade proposta é falsa. Conclusão: d) é falsa.
Resposta
a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Falsa
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Falsa