Considere o experimento de lançamento de dois dados honestos. Seja X igual à diferença entre os dois valores obtidos nos lançamentos.
Considere as seguintes proposições:
a) \mathbb{P}(X=-x)=\mathbb{P}(X=x).
b) \mathbb{P}(X=3)=\mathbb{P}(X=4)+\mathbb{P}(X=5).
c) \mathbb{P}(X=x)=\mathbb{P}(X=x-1)+1 / 36 para x positivo.
d) \mathbb{P}(X>1)=1-\mathbb{P}(X<1).
Quais as proposições estão corretas?

Passo 1

O enunciado nos dá o seguinte:
  • Lançam-se dois dados honestos (justos), cada lançamento tem resultados 1,2,3,4,5,6.
  • Denotar por D_1 o resultado do primeiro dado e por D_2 o resultado do segundo dado.
  • A variável aleatória é X, definida como a diferença entre os dois valores obtidos; aqui tomamos explicitamente \,X = D_1 - D_2.
  • O espaço amostral tem 36 resultados igualmente prováveis (pares (D_1,D_2) com 6\times6=36).
    O que se pede: verificar a veracidade das proposições
    a) \mathbb{P}(X=-x)=\mathbb{P}(X=x).
    b) \mathbb{P}(X=3)=\mathbb{P}(X=4)+\mathbb{P}(X=5).
    c) \mathbb{P}(X=x)=\mathbb{P}(X=x-1)+1/36 para x positivo.
    d) \mathbb{P}(X>1)=1-\mathbb{P}(X<1).

Passo 2

Vamos achar a função massa de probabilidade de X. Primeiro identificar os valores possíveis de X.
  • Como D_1,D_2\in\{1,\dots,6\}, os possíveis valores de X=D_1-D_2 são os inteiros
-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5.
Cada par (D_1,D_2) tem probabilidade 1/36.

Passo 3

Contar quantos pares geram uma dada diferença k. Para k\in\{-5,\dots,5\}:
  • Condição D_1-D_2=k significa D_1=D_2+k.
  • Para um k\ge0, D_2 pode ser 1,2,\dots,6-k, ou seja há 6-k pares.
  • Para k<0, a mesma contagem dá 6-|k| pares (simetria).
    Portanto, o número de pares que produzem X=k é 6-|k|. Assim a probabilidade é
\mathbb{P}(X=k)=\frac{6-|k|}{36},\qquad k=-5,-4,\dots,5.
Exemplos numéricos úteis:
\mathbb{P}(X=0)=\frac{6}{36},\quad \mathbb{P}(X=1)=\frac{5}{36},\quad \mathbb{P}(X=2)=\frac{4}{36},\quad \mathbb{P}(X=3)=\frac{3}{36},\quad \mathbb{P}(X=4)=\frac{2}{36},\quad \mathbb{P}(X=5)=\frac{1}{36},
e as probabilidades negativas são iguais às correspondentes positivas por dependerem de |k|.

Passo 4

Análise da proposição (a): \mathbb{P}(X=-x)=\mathbb{P}(X=x).
  • Pela fórmula \mathbb{P}(X=k)=\dfrac{6-|k|}{36} vemos que a probabilidade depende apenas de |k|, logo \mathbb{P}(X,-x)=\mathbb{P}(X,x) para todo x no suporte.
  • Conclusão: a) é verdadeira.

Passo 5

Análise da proposição (b): \mathbb{P}(X=3)=\mathbb{P}(X=4)+\mathbb{P}(X=5).
Calcular usando a fórmula:
\mathbb{P}(X=3)=\frac{6-3}{36}=\frac{3}{36},
\mathbb{P}(X=4)=\frac{2}{36},\qquad \mathbb{P}(X=5)=\frac{1}{36},
\mathbb{P}(X=4)+\mathbb{P}(X=5)=\frac{2}{36}+\frac{1}{36}=\frac{3}{36}.
Portanto a igualdade vale. Conclusão: b) é verdadeira.

Passo 6

Análise da proposição (c): \mathbb{P}(X=x)=\mathbb{P}(X=x-1)+1/36 para x positivo.
Usar a fórmula para x=1,2,3,4,5:
\mathbb{P}(X=x)=\frac{6-x}{36},\qquad \mathbb{P}(X=x-1)=\frac{6-(x-1)}{36}=\frac{7-x}{36}.
Subtrair:
\mathbb{P}(X=x)-\mathbb{P}(X=x-1)=\frac{6-x}{36}-\frac{7-x}{36}=-\frac{1}{36}.
Isto mostra que \mathbb{P}(X=x)=\mathbb{P}(X=x-1)-1/36, ou seja o sinal está trocado em relação à proposição. A proposição afirmava um +1/36, mas a diferença real é -1/36. Conclusão: c) é falsa. (Por exemplo, para x=2: \mathbb{P}(X=2)=4/36 e \mathbb{P}(X=1)+1/36=5/36+1/36=6/36\neq4/36.)

Passo 7

Análise da proposição (d): \mathbb{P}(X>1)=1-\mathbb{P}(X<1).
Interpretar os eventos:
  • X>1 significa X\ge2 (valores 2,3,4,5).
  • X<1 significa X\le0 (valores -5,\dots,0).
    Note que 1-\mathbb{P}(X<1)=\mathbb{P}(X\ge1) por complementaridade.
    Mas \mathbb{P}(X\ge1)=\mathbb{P}(X>1)+\mathbb{P}(X=1). Como \mathbb{P}(X=1)=5/36\neq0, não se tem \mathbb{P}(X>1)=\mathbb{P}(X\ge1). Vamos calcular numericamente:
\mathbb{P}(X>1)=\mathbb{P}(X=2)+\mathbb{P}(X=3)+\mathbb{P}(X=4)+\mathbb{P}(X=5)=\frac{4+3+2+1}{36}=\frac{10}{36}.
1-\mathbb{P}(X<1)=1-\mathbb{P}(X\le0)=1-\frac{\text{(probabilidades de }-5\text{ a }0)}{1}.
As probabilidades de -5 a 0 somam \frac{15+6}{36}=\frac{21}{36} (onde 15/36 é soma de |k|=1 a 5 e 6/36 é k=0), logo
1-\mathbb{P}(X<1)=1-\frac{21}{36}=\frac{15}{36}.
Como \tfrac{10}{36}\neq\tfrac{15}{36}, a igualdade proposta é falsa. Conclusão: d) é falsa.

Resposta

a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Falsa

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