No lançamento de três moedas, um jogador recebe \mathrm{R} \ 1,00 se o número de coroas é igual a 2 , recebeúé\mathrm{R} $8,00 se o número de coroas é igual a 3 e não recebe nada caso contrário. Qual é a probabilidade do jogador receber menos deúéãáé\mathrm{R} $ 7,00$ quando lançou as três moedas uma única vez?

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Informação do enunciado:
    • Lançam-se 3 moedas idênticas e justas (pressuposto padrão).
    • O jogador recebe:
      • \mathrm{R}\$\,1,00 se o número de coroas for igual a 2.
      • \mathrm{R}\$\,8,00 se o número de coroas for igual a 3.
      • \mathrm{R}\$\,0,00 caso contrário (ou seja, para 0 ou 1 coroa).
  • Pergunta do enunciado:
    • Qual é a probabilidade de o jogador receber menos de \mathrm{R}\$\,7,00 ao lançar as três moedas uma única vez?

Passo 2

Interpretar "receber menos de \mathrm{R}\$\,7,00":
  • Valores possíveis de prêmio: 0, 1 e 8.
  • "Menos de \mathrm{R}\$\,7,00" significa receber 0 ou 1, ou seja, excluir o caso em que recebe 8.
Agora traduzir isso para eventos sobre o número de coroas:
  • Recebe 8 quando o número de coroas é 3.
  • Recebe 1 quando o número de coroas é 2.
  • Recebe 0 quando o número de coroas é 0 ou 1.
Portanto o evento desejado é: "número de coroas é 0, 1 ou 2". É mais simples calcular a probabilidade complementando com o caso 3 coroas, porque há poucas possibilidades.

Passo 3

Modelagem probabilística dos lançamentos:
  • Cada lançamento tem duas faces (cara/coroa) com probabilidade 1/2.
  • O número de coroas em 3 lançamentos segue a distribuição binomial com parâmetros n=3 e p=1/2.
  • Fórmula geral: a probabilidade de exatamente k coroas em n lançamentos é
\mathbb{P}(\text{exatamente }k)=\binom{n}{k}\left(\tfrac{1}{2}\right)^n,
onde
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
é o número de maneiras de escolher quais k lançamentos dão coroa.

Passo 4

Calcular as probabilidades para cada k=0,1,2,3 usando n=3:
  • Para k=0:
\binom{3}{0}=1,\qquad \mathbb{P}(0)=\binom{3}{0}\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=1\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{8}.
  • Para k=1:
\binom{3}{1}=3,\qquad \mathbb{P}(1)=\binom{3}{1}\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=3\cdot\frac{1}{8}=\frac{3}{8}.
  • Para k=2:
\binom{3}{2}=3,\qquad \mathbb{P}(2)=\binom{3}{2}\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=3\cdot\frac{1}{8}=\frac{3}{8}.
  • Para k=3:
\binom{3}{3}=1,\qquad \mathbb{P}(3)=\binom{3}{3}\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=1\cdot\frac{1}{8}=\frac{1}{8}.
(Verificação rápida: \tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{8}+\tfrac{3}{8}+\tfrac{1}{8}=1, está consistente.)

Passo 5

Agora ligar essas probabilidades aos prêmios:
  • Recebe menos de \mathrm{R}\$\,7,00 ocorre quando o número de coroas é 0, 1 ou 2.
  • Então a probabilidade pedida é
\mathbb{P}(\text{prêmio}<7)=\mathbb{P}(0)+\mathbb{P}(1)+\mathbb{P}(2).ê

Passo 6

Somar as probabilidades calculadas:
\mathbb{P}(\text{prêmio}<7)=\frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}=\frac{7}{8}.ê
Alternativamente, usar o complemento (mais rápido): \mathbb{P}(\text{prêmio}<7)=1-\mathbb{P}(\text{recebe }8)=1-\tfrac{1}{8}=\tfrac{7}{8}ê.

Resposta

\dfrac{7}{8}=0,875

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