No lançamento de três moedas, um jogador recebe
1,00
\mathrm{R} $8,00
\mathrm{R} $ 7,00$ quando lançou as três moedas uma única vez?
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Informação do enunciado:
- Lançam-se
moedas idênticas e justas (pressuposto padrão). - O jogador recebe:
-
se o número de coroas for igual a . -
se o número de coroas for igual a . -
caso contrário (ou seja, para ou coroa).
-
- Lançam-se
- Pergunta do enunciado:
- Qual é a probabilidade de o jogador receber menos de
ao lançar as três moedas uma única vez?
- Qual é a probabilidade de o jogador receber menos de
Passo 2
Interpretar "receber menos de
":
- Valores possíveis de prêmio:
, e . - "Menos de
" significa receber ou , ou seja, excluir o caso em que recebe .
Agora traduzir isso para eventos sobre o número de coroas:
- Recebe
quando o número de coroas é . - Recebe
quando o número de coroas é . - Recebe
quando o número de coroas é ou .
Portanto o evento desejado é: "número de coroas é
,
ou
". É mais simples calcular a probabilidade complementando com o caso
coroas, porque há poucas possibilidades.
Passo 3
Modelagem probabilística dos lançamentos:
- Cada lançamento tem duas faces (cara/coroa) com probabilidade
. - O número de coroas em
lançamentos segue a distribuição binomial com parâmetros e . - Fórmula geral: a probabilidade de exatamente
coroas em lançamentos é
onde
é o número de maneiras de escolher quais
lançamentos dão coroa.
Passo 4
Calcular as probabilidades para cada
usando
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
(Verificação rápida:
, está consistente.)
Passo 5
Agora ligar essas probabilidades aos prêmios:
- Recebe menos de
ocorre quando o número de coroas é , ou . - Então a probabilidade pedida é
Passo 6
Somar as probabilidades calculadas:
Alternativamente, usar o complemento (mais rápido):
.