Deriva a função
Passo 1
O enunciado dá a função
ou seja, a função está escrita em termos de
. A tarefa é derivar essa função — isto é, encontrar a derivada de
em relação a
. Informação relevante que temos: o numerador é
, e o denominador é
. A pergunta é: qual é
?
Passo 2
Vamos escolher uma regra para derivar uma fração: se tivermos
a regra do quociente diz que a derivada é
Explicando cada coisa:
é o numerador,
é o denominador;
e
são as derivadas deles. A fórmula vem de aplicar a regra do produto e a derivada de
, mas aqui a gente usa direto a forma pronta — é a ferramenta certa para frações.
Passo 3
Identificamos
e
e calculamos suas derivadas usando a regra da potência (a derivada de
é
) e que a derivada de constante é zero:
Detalhe: derivada de
é
; de
é
; de
é
; de
é
.
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Isso já está correto, mas dá para simplificar o numerador para obter uma forma mais clara.
Passo 5
Vamos expandir cada produto do numerador passo a passo.
Primeiro:
logo
Segundo:
Agora subtraímos o segundo do primeiro (conforme a fórmula):
Passo 6
Combine os termos semelhantes:
e os outros permanecem
. Assim o numerador simplificado é
Podemos fatorar um sinal negativo para deixar mais elegante:
Passo 7
Substituindo o numerador simplificado na expressão para
, obtemos a forma final da derivada:
Pronto — essa é a derivada simplificada. Se quiser, podemos deixar sem o sinal fatorado, que também está correto.