Deriva a função
f(x)=\frac{t^{4}+t}{t^{5}-3}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{t^{4}+t}{t^{5}-3}
ou seja, a função está escrita em termos de t. A tarefa é derivar essa função — isto é, encontrar a derivada de f em relação a t. Informação relevante que temos: o numerador é \,t^{4}+t, e o denominador é \,t^{5}-3. A pergunta é: qual é f'(t)?

Passo 2

Vamos escolher uma regra para derivar uma fração: se tivermos
f(t)=\frac{u(t)}{v(t)},
a regra do quociente diz que a derivada é
f'(t)=\frac{u'(t)\,v(t)-u(t)\,v'(t)}{[v(t)]^{2}}.
Explicando cada coisa: u(t) é o numerador, v(t) é o denominador; u'(t) e v'(t) são as derivadas deles. A fórmula vem de aplicar a regra do produto e a derivada de 1/v, mas aqui a gente usa direto a forma pronta — é a ferramenta certa para frações.

Passo 3

Identificamos u e v e calculamos suas derivadas usando a regra da potência (a derivada de t^{n} é n t^{n-1}) e que a derivada de constante é zero:
u(t)=t^{4}+t,\quad u'(t)=4t^{3}+1,
v(t)=t^{5}-3,\quad v'(t)=5t^{4}.
Detalhe: derivada de t^{4} é 4t^{3}; de t é 1; de t^{5} é 5t^{4}; de -3 é 0.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
f'(t)=\frac{(4t^{3}+1)(t^{5}-3)-(t^{4}+t)(5t^{4})}{(t^{5}-3)^{2}}.
Isso já está correto, mas dá para simplificar o numerador para obter uma forma mais clara.

Passo 5

Vamos expandir cada produto do numerador passo a passo.
Primeiro:
(4t^{3}+1)(t^{5}-3)=4t^{3}\cdot t^{5}+1\cdot t^{5}-4t^{3}\cdot 3-1\cdot 3,
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(4t^{3}+1)(t^{5}-3)=4t^{8}+t^{5}-12t^{3}-3.
Segundo:
(t^{4}+t)(5t^{4})=5t^{4}\cdot t^{4}+5t^{4}\cdot t=5t^{8}+5t^{5}.
Agora subtraímos o segundo do primeiro (conforme a fórmula):
\bigl(4t^{8}+t^{5}-12t^{3}-3\bigr)-\bigl(5t^{8}+5t^{5}\bigr).

Passo 6

Combine os termos semelhantes:
4t^{8}-5t^{8}=-t^{8},
t^{5}-5t^{5}=-4t^{5},
e os outros permanecem -12t^{3}-3. Assim o numerador simplificado é
-t^{8}-4t^{5}-12t^{3}-3.
Podemos fatorar um sinal negativo para deixar mais elegante:
-(t^{8}+4t^{5}+12t^{3}+3).

Passo 7

Substituindo o numerador simplificado na expressão para f'(t), obtemos a forma final da derivada:
f'(t)=-\frac{t^{8}+4t^{5}+12t^{3}+3}{(t^{5}-3)^{2}}.
Pronto — essa é a derivada simplificada. Se quiser, podemos deixar sem o sinal fatorado, que também está correto.

Resposta

f'(t)=-\frac{t^{8}+4t^{5}+12t^{3}+3}{(t^{5}-3)^{2}}

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