Questão 4 Resolva o problema de valor inicial abaixo usando a transformada de Laplace
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial abaixo usando a transformada de Laplace:
Dados relevantes extraídos do enunciado:
Passo 2
Breve aula sobre a transformada de Laplace (sem pular etapas):
onde
é a variável complexa da transformada (na prática, tratamos
como um parâmetro real suficiente grande para convergência). Principais propriedades que vamos usar:
onde
. Essas fórmulas para derivadas vêm de integração por partes aplicadas à definição (se quiser, depois eu mostro a demonstração). Também a transformada exponencial padrão:
Passo 3
Agora aplicamos a transformada de Laplace a ambos os lados da equação diferencial. Denotando
, teremos:
Usando as fórmulas das derivadas e as condições iniciais
,
, obtemos:
Substituindo
e
simplifica para
Passo 4
Fatorando
na expressão acima:
Observe que
é fatorável:
Logo
Passo 5
Precisamos inverter a transformada; para isso fazemos decomposição em frações parciais. Procuramos constantes
tais que
Usamos o método “cover-up” (é um jeito rápido de obter as constantes quando os fatores são simples e distintos):
- Para
(pôr em ):
- Para
(pôr em ):
- Para
(pôr em ):
Portanto a decomposição é
Passo 6
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. Lembrando que
, obtemos:
Esses são os três termos que compõem a solução no domínio do tempo.
Passo 7
Verificação rápida das condições iniciais (para nos certificar de que não houve erro aritmético):
e derivando os termos,
logo
As condições iniciais são satisfeitas, portanto a solução está correta.