Calcule o limite a seguir e justifique cada passagem.
Passo 1
Enunciado que temos de analisar: calcular o limite
Informações dadas:
(a variável
tende a valores negativos com módulo crescendo),
a expressão é uma função racional com numerador e denominador
.
O que se pede: encontrar o valor numérico do limite e justificar cada passagem.
a expressão é uma função racional com numerador
O que se pede: encontrar o valor numérico do limite e justificar cada passagem.
Passo 2
Observação útil (intuição): quando
vai para
, termos como
e
vão para
. Uma técnica padrão é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece no denominador — aqui é
— para deixar explícito quais parcelas tendem a zero. Vou aplicar essa divisão passo a passo.
Passo 3
Dividindo numerador e denominador por
obtemos (cada termo dividido por
):
Expliquei cada fração:
,
, etc.
Passo 4
Agora analiso o comportamento das parcelas quando
:
-
, porque e portanto ; o sinal fica negativo, mas o limite numérico é . -
, pois tende a em módulo grande, logo . -
pelo mesmo motivo.
Portanto, usando limites termo a termo no numerador e denominador,
o numeradortende a e o denominador tende a .
Passo 5
Aplicando a regra de quociente de limites: se
e
com
, então
. Aqui temos numerador tendendo a
e denominador tendendo a
. Logo
Comentário final e intuição rápida: como o grau do numerador (
) é menor que o grau do denominador (
), o denominador cresce em módulo mais rápido que o numerador quando
, por isso a razão tende a zero. Isso é outra forma de ver o mesmo resultado.