Calcule o limite a seguir e justifique cada passagem.
\lim _{t \rightarrow-\infty} \frac{t^{2}+2}{t^{3}+t^{2}-1}

Passo 1

Enunciado que temos de analisar: calcular o limite
\lim_{t\to -\infty} \frac{t^{2}+2}{t^{3}+t^{2}-1}.
Informações dadas:
\,t\to -\infty (a variável t tende a valores negativos com módulo crescendo),
a expressão é uma função racional com numerador \,t^{2}+2 e denominador \,t^{3}+t^{2}-1.
O que se pede: encontrar o valor numérico do limite e justificar cada passagem.

Passo 2

Observação útil (intuição): quando t vai para -\infty, termos como \,1/t e \,1/t^{3} vão para 0. Uma técnica padrão é dividir numerador e denominador pela maior potência de t que aparece no denominador — aqui é \,t^{3} — para deixar explícito quais parcelas tendem a zero. Vou aplicar essa divisão passo a passo.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por \,t^{3} obtemos (cada termo dividido por \,t^{3}):
\frac{t^{2}+2}{t^{3}+t^{2}-1} = \frac{\dfrac{t^{2}}{t^{3}}+\dfrac{2}{t^{3}}}{\dfrac{t^{3}}{t^{3}}+\dfrac{t^{2}}{t^{3}}-\dfrac{1}{t^{3}}} = \frac{\dfrac{1}{t}+\dfrac{2}{t^{3}}}{1+\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t^{3}}}.
Expliquei cada fração: \dfrac{t^{2}}{t^{3}}=\dfrac{1}{t}, \dfrac{t^{3}}{t^{3}}=1, etc.

Passo 4

Agora analiso o comportamento das parcelas quando t\to -\infty:
  • \displaystyle \lim_{t\to -\infty} \frac{1}{t} = 0, porque |t|\to\infty e portanto 1/|t|\to 0; o sinal fica negativo, mas o limite numérico é 0.
  • \displaystyle \lim_{t\to -\infty} \frac{2}{t^{3}} = 0, pois t^{3} tende a -\infty em módulo grande, logo 2/t^{3}\to 0.
  • \displaystyle \lim_{t\to -\infty} \frac{1}{t^{3}} = 0 pelo mesmo motivo.
    Portanto, usando limites termo a termo no numerador e denominador,
    o numerador \dfrac{1}{t}+\dfrac{2}{t^{3}} tende a 0+0=0 e o denominador 1+\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t^{3}} tende a 1+0-0=1.

Passo 5

Aplicando a regra de quociente de limites: se \lim_{t\to a} A(t)=A e \lim_{t\to a} B(t)=B com B\neq 0, então \lim_{t\to a} \dfrac{A(t)}{B(t)}=\dfrac{A}{B}. Aqui temos numerador tendendo a 0 e denominador tendendo a 1\neq 0. Logo
\lim_{t\to -\infty} \frac{\dfrac{1}{t}+\dfrac{2}{t^{3}}}{1+\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t^{3}}} = \frac{0}{1} = 0.
Comentário final e intuição rápida: como o grau do numerador ( 2) é menor que o grau do denominador ( 3), o denominador cresce em módulo mais rápido que o numerador quando |t|\to\infty, por isso a razão tende a zero. Isso é outra forma de ver o mesmo resultado.

Resposta

0

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