Deriva as sequintes funções:
\left(x^{3}-2^{2}+1\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(x)=\left(x^{3}-2^{2}+1\right)^{3}.
Informações relevantes que recebemos:
  • A função é uma composição: uma expressão ao cubo.
  • Posso simplificar 2^{2}: 2^{2}=4. Então a parte interna fica x^{3}-4+1=x^{3}-3.
  • A pergunta é: calcular f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Método: usar a regra da cadeia, porque temos uma função composta. Vou explicar a regra da cadeia de forma simples:
  • Se f(x)=g(u(x)), onde u(x) é uma função de x e g(u) é uma função de u, então
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
  • Aqui g' é a derivada de g em relação a u e u' é a derivada de u em relação a x.
    Também vou usar a regra da potência:
  • Para h(t)=t^{n}, vale
h'(t)=n\,t^{n-1}.
Nesse caso, t pode ser qualquer expressão (por exemplo u(x)).

Passo 3

Identificar as funções externa e interna:
  • Função externa g(u)=u^{3}.
  • Função interna u(x)=x^{3}-3 (peguei a simplificação de 2^{2} feita no Passo 1).
Derivada da função externa em relação a u:
g'(u)=3u^{2},
pela regra da potência (aqui n=3).

Passo 4

Derivar a função interna u(x)=x^{3}-3:
  • Derivada de x^{3} é 3x^{2} (pela regra da potência com n=3).
  • Derivada de -3 (constante) é 0.
    Portanto
u'(x)=3x^{2}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia:
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)=3\bigl(u(x)\bigr)^{2}\cdot 3x^{2}.
Substituindo u(x)=x^{3}-3,
f'(x)=3\bigl(x^{3}-3\bigr)^{2}\cdot 3x^{2}=9x^{2}\bigl(x^{3}-3\bigr)^{2}.
Como verificação rápida: para x=1, f'(1)=9\cdot1^{2}\cdot(1-3)^{2}=9\cdot4=36, que é consistente como cálculo numérico.

Resposta

9x^{2}\bigl(x^{3}-3\bigr)^{2}

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