Calcule o centro de massa.
B=\left\{(x, y) ; x^{2}+y^{2} \leq 1,0 \leq y\right\} e a densidade é proporcional a distância do ponto ao eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa do conjunto B=\{(x,y);\;x^{2}+y^{2}\le 1,\;0\le y\} (meia-disca de raio 1 acima do eixo x) com densidade proporcional à distância ao eixo x. Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A região B é a semicircunferência cheia superior de raio 1.
  • A densidade em cada ponto é proporcional à distância ao eixo x. Como y\ge0 em B, isso significa que a densidade pode ser escrita como \rho(x,y)=k\,y, onde k>0 é uma constante de proporcionalidade (não dada).
  • O que se pede é o centro de massa (\bar{x},\bar{y}) da lamina ocupando B com essa densidade.

Passo 2

Recordando as fórmulas de centro de massa em duas dimensões para densidade \rho(x,y):
\bar{x}=\frac{1}{M}\iint_{B} x\,\rho(x,y)\,dA,\qquad \bar{y}=\frac{1}{M}\iint_{B} y\,\rho(x,y)\,dA,
onde a massa total é
M=\iint_{B}\rho(x,y)\,dA.
Aqui \rho(x,y)=k\,y. Vou usar essas fórmulas e calcular as integrais. As variáveis: x,y coordenadas no plano, dA elemento de área, k constante positiva.

Passo 3

Simetria para \bar{x}. A região B é simétrica em relação ao eixo y (para cada (x,y)\in B existe (-x,y)\in B). A densidade \rho(x,y)=k\,y depende só de y, não de x. Portanto a contribuição de x positiva cancela a de x negativa na integral de x\,\rho, logo
\bar{x}=0.

Passo 4

Cálculo da massa M. Em coordenadas polares usa-se x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, dA=r\,dr\,d\theta. A região B corresponde a 0\le r\le 1 e 0\le\theta\le\pi. A densidade em polares é \rho=k\,y=k\,r\sin\theta. Então
M=\iint_{B}k\,y\,dA =\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{1} k\,(r\sin\theta)\,(r)\,dr\,d\theta =\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} k\,r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta.
Calculo as integrais separadamente:
\int_{0}^{1} r^{2}\,dr=\left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{3}, \qquad \int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=\left.-\cos\theta\right|_{0}^{\pi}=2.
Portanto
M=k\cdot\frac{1}{3}\cdot 2=\frac{2k}{3}.

Passo 5

Cálculo do numerador para \bar{y}: N_y=\iint_{B} y\,\rho(x,y)\,dA=\iint_{B} y\,(k\,y)\,dA=k\iint_{B} y^{2}\,dA.
Em coordenadas polares y^{2}=r^{2}\sin^{2}\theta e dA=r\,dr\,d\theta, logo
N_y=k\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} r^{2}\sin^{2}\theta \cdot r\,dr\,d\theta =k\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} r^{3}\sin^{2}\theta\,dr\,d\theta.
Calculo as integrais:
\int_{0}^{1} r^{3}\,dr=\left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{4}, \qquad \int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\frac{\pi}{2}
(lembrando que \int_{0}^{\pi}\sin^{2}\theta\,d\theta=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi}(1-\cos2\theta)\,d\theta=\tfrac{\pi}{2}). Assim
N_y=k\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{k\pi}{8}.

Passo 6

Agora obtenho \bar{y} dividindo o numerador pela massa:
\bar{y}=\frac{N_y}{M}=\frac{\dfrac{k\pi}{8}}{\dfrac{2k}{3}}.
O k cancela (como era de se esperar: a constante de proporcionalidade não muda o centro de massa), então
\bar{y}=\frac{\pi}{8}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3\pi}{16}.

Passo 7

Interpretação numérica rápida (para intuição): \dfrac{3\pi}{16}\approx 0{,}589. Isso é maior que o centro de massa da semicircunferência homogênea ( \tfrac{4}{3\pi}\approx0{,}424), o que faz sentido porque a densidade aumenta com y, deslocando o centro para cima.

Resposta

\bigl(0,\;\tfrac{3\pi}{16}\bigr)

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