Calcule o centro de massa. B=\left\{(x, y) ; x^{2}+y^{2} \leq 1,0 \leq y\right\} e a densidade é proporcional a distância do ponto ao eixo x.
Passo 1
O enunciado pede o centro de massa do conjunto B=\{(x,y);\;x^{2}+y^{2}\le 1,\;0\le y\} (meia-disca de raio 1 acima do eixo x) com densidade proporcional à distância ao eixo x. Informações importantes extraídas do enunciado:
A região B é a semicircunferência cheia superior de raio 1.
A densidade em cada ponto é proporcional à distância ao eixo x. Como y\ge0 em B, isso significa que a densidade pode ser escrita como \rho(x,y)=k\,y, onde k>0 é uma constante de proporcionalidade (não dada).
O que se pede é o centro de massa (\bar{x},\bar{y}) da lamina ocupando B com essa densidade.
Passo 2
Recordando as fórmulas de centro de massa em duas dimensões para densidade \rho(x,y):
Aqui \rho(x,y)=k\,y. Vou usar essas fórmulas e calcular as integrais. As variáveis: x,y coordenadas no plano, dA elemento de área, k constante positiva.
Passo 3
Simetria para \bar{x}. A região B é simétrica em relação ao eixo y (para cada (x,y)\in B existe (-x,y)\in B). A densidade \rho(x,y)=k\,y depende só de y, não de x. Portanto a contribuição de x positiva cancela a de x negativa na integral de x\,\rho, logo
\bar{x}=0.
Passo 4
Cálculo da massa M. Em coordenadas polares usa-se x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, dA=r\,dr\,d\theta. A região B corresponde a 0\le r\le 1 e 0\le\theta\le\pi. A densidade em polares é \rho=k\,y=k\,r\sin\theta. Então
Cálculo do numerador para \bar{y}: N_y=\iint_{B} y\,\rho(x,y)\,dA=\iint_{B} y\,(k\,y)\,dA=k\iint_{B} y^{2}\,dA.
Em coordenadas polares y^{2}=r^{2}\sin^{2}\theta e dA=r\,dr\,d\theta, logo
Interpretação numérica rápida (para intuição): \dfrac{3\pi}{16}\approx 0{,}589. Isso é maior que o centro de massa da semicircunferência homogênea (\tfrac{4}{3\pi}\approx0{,}424), o que faz sentido porque a densidade aumenta com y, deslocando o centro para cima.