Calcule o centro de massa. \rho(x, y)=y e B=\{(x, y) ; 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o centro de massa de uma lâmina no plano cujas densidade e região são dadas. Dados do problema:
Densidade: \rho(x,y)=y.
Região: B=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 1\} (o quadrado unitário).
O que se pede explicitamente: encontrar as coordenadas do centro de massa \bigl(\overline{x},\overline{y}\bigr) da lâmina.
Passo 2
Fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
Massa total M da lâmina: M=\iint_{B}\rho(x,y)\,dA.
Aqui dA é o elemento de área (no nosso caso dA=dx\,dy) e \rho(x,y) é a densidade em cada ponto; integrar dá a massa total.
Explicação: \iint x\,\rho\,dA é o momento em relação ao eixo y (peso das massas multiplicado pela sua abscissa) e dividindo por M obtemos a abscissa média ponderada; análogo para \overline{y}.
Observação útil para este caso: B é um retângulo (produto de intervalos), então integrais duplas separáveis podem ser escritas como produto de integrais simples quando a função é produto de funções de x e y (ou quando uma das variáveis aparece multiplicativamente). Isso vai simplificar os cálculos.
Interpretação rápida (para animar): a densidade \rho=y aumenta conforme y cresce, então a lâmina é mais “pesada” perto da borda superior y=1; por isso \overline{y}=\tfrac{2}{3} fica acima do centro geométrico \tfrac{1}{2}. Já \overline{x}=\tfrac{1}{2} porque a densidade não depende de x e o domínio é simétrico em x.