Calcule o centro de massa.
\rho(x, y)=y e B=\{(x, y) ; 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o centro de massa de uma lâmina no plano cujas densidade e região são dadas. Dados do problema:
  • Densidade: \rho(x,y)=y.
  • Região: B=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 1\} (o quadrado unitário).
    O que se pede explicitamente: encontrar as coordenadas do centro de massa \bigl(\overline{x},\overline{y}\bigr) da lâmina.

Passo 2

Fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
  • Massa total M da lâmina: M=\iint_{B}\rho(x,y)\,dA.
Aqui dA é o elemento de área (no nosso caso dA=dx\,dy) e \rho(x,y) é a densidade em cada ponto; integrar dá a massa total.
  • Coordenadas do centro de massa:
\overline{x}=\frac{1}{M}\iint_{B} x\,\rho(x,y)\,dA, \qquad \overline{y}=\frac{1}{M}\iint_{B} y\,\rho(x,y)\,dA.
Explicação: \iint x\,\rho\,dA é o momento em relação ao eixo y (peso das massas multiplicado pela sua abscissa) e dividindo por M obtemos a abscissa média ponderada; análogo para \overline{y}.
Observação útil para este caso: B é um retângulo (produto de intervalos), então integrais duplas separáveis podem ser escritas como produto de integrais simples quando a função é produto de funções de x e y (ou quando uma das variáveis aparece multiplicativamente). Isso vai simplificar os cálculos.

Passo 3

Calcular a massa M:
M=\iint_{B}\rho(x,y)\,dA=\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{1} y\,dx\,dy.
Avaliaremos a integral interna em x primeiro; como y é constante em relação a x,
\int_{x=0}^{1} y\,dx = y\int_{0}^{1} dx = y\cdot(1-0)=y.
Agora a integral externa em y:
M=\int_{0}^{1} y\,dy.
Calcule \int_{0}^{1} y\,dy: a primitiva é \tfrac{1}{2}y^{2}, logo
M=\left[\tfrac{1}{2}y^{2}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}\cdot 1^{2}-0=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Calcular o numerador para \overline{x}, isto é \iint_{B} x\,\rho(x,y)\,dA=\iint_{B} x y\,dA:
\iint_{B} x y\,dA=\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{1} x y\,dx\,dy.
Podemos separar porque x y=(x)(y) e os limites são independentes:
\int_{y=0}^{1}\left(y\int_{x=0}^{1} x\,dx\right)dy = \int_{0}^{1} y\cdot\left[\tfrac{1}{2}x^{2}\right]_{0}^{1} dy = \int_{0}^{1} y\cdot \tfrac{1}{2}\,dy = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1} y\,dy.
Já sabemos \int_{0}^{1} y\,dy=\tfrac{1}{2}, então
\iint_{B} x y\,dA = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{4}.

Passo 5

Calcular o numerador para \overline{y}, isto é \iint_{B} y\,\rho(x,y)\,dA=\iint_{B} y^{2}\,dA:
\iint_{B} y^{2}\,dA=\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{1} y^{2}\,dx\,dy.
A integral interna em x dá um fator 1 porque y^{2} é constante em x:
\int_{x=0}^{1} y^{2}\,dx = y^{2}\int_{0}^{1} dx = y^{2}.
Portanto
\iint_{B} y^{2}\,dA = \int_{0}^{1} y^{2}\,dy.
Calcule \int_{0}^{1} y^{2}\,dy: a primitiva é \tfrac{1}{3}y^{3}, logo
\iint_{B} y^{2}\,dA=\left[\tfrac{1}{3}y^{3}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{3}.

Passo 6

Agora montar as coordenadas do centro de massa usando M=\tfrac{1}{2}, \iint x\rho\,dA=\tfrac{1}{4} e \iint y\rho\,dA=\tfrac{1}{3}.
Cálculo de \overline{x}:
\overline{x}=\frac{1}{M}\iint_{B} x\,\rho\,dA = \frac{1}{\tfrac{1}{2}}\cdot \tfrac{1}{4} = 2\cdot \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{2}.
Cálculo de \overline{y}:
\overline{y}=\frac{1}{M}\iint_{B} y\,\rho\,dA = \frac{1}{\tfrac{1}{2}}\cdot \tfrac{1}{3} = 2\cdot \tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3}.
Interpretação rápida (para animar): a densidade \rho=y aumenta conforme y cresce, então a lâmina é mais “pesada” perto da borda superior y=1; por isso \overline{y}=\tfrac{2}{3} fica acima do centro geométrico \tfrac{1}{2}. Já \overline{x}=\tfrac{1}{2} porque a densidade não depende de x e o domínio é simétrico em x.

Resposta

\displaystyle \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{2}{3}\right)

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