(Derivação implícita, logarítmica e de hiperbólicas) Encontre a derivada f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x} em cada item abaixo.
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1 \quad y^{\prime}=\frac{-9 x}{4 y}

Passo 1

O enunciado fornece a equação
\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1
e pede para encontrar a derivada y'=\dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes dadas:
  • A relação entre x e y é uma equação envolvendo y de forma implícita.
  • A incógnita a ser isolada é y', a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a x. Lembrete importante: y depende de x, então ao diferenciar expressões com y usa-se a regra da cadeia. Isto é, se tiver y^{2}, a derivada é 2y\cdot \dfrac{dy}{dx}=2y\,y'.
Aplicando a derivação termo a termo:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{4}\right)+\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y^{2}}{9}\right)=\frac{d}{dx}(1).
Calcule cada derivada separadamente:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{4}\right)=\frac{1}{4}\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=\frac{1}{4}\cdot 2x=\frac{x}{2},
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{y^{2}}{9}\right)=\frac{1}{9}\cdot\frac{d}{dx}(y^{2})=\frac{1}{9}\cdot 2y\cdot y'=\frac{2y}{9}\,y',
\frac{d}{dx}(1)=0.
Portanto, após derivar obtemos a equação:
\frac{x}{2}+\frac{2y}{9}\,y'=0.

Passo 3

Agora isolamos y'. Primeiro passamos o termo com x para o outro lado:
\frac{2y}{9}\,y'=-\frac{x}{2}.
Para encontrar y', multiplicamos ambos os lados pelo inverso de \dfrac{2y}{9}, que é \dfrac{9}{2y}:
y'=-\frac{x}{2}\cdot\frac{9}{2y}.
Fazendo a multiplicação e simplificando os fatores numéricos:
-\frac{x}{2}\cdot\frac{9}{2y}=-\frac{9x}{4y}.

Passo 4

Interpretação final e dica prática: a derivada encontrada dá a inclinação da tangente à curva definida implicitamente pela equação. Uma forma rápida de lembrar o padrão para elipses da forma \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 é que
y'=-\frac{b^{2}x}{a^{2}y},
porque o cálculo segue exatamente os mesmos passos feitos aqui. No caso dado, a^{2}=4 e b^{2}=9, levando a y'=-\dfrac{9x}{4y}.

Resposta

y'=-\frac{9x}{4y}

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