(Derivação implícita, logarítmica e de hiperbólicas) Encontre a derivada
em cada item abaixo.
Passo 1
O enunciado fornece a equação
e pede para encontrar a derivada
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A relação entre
e é uma equação envolvendo de forma implícita. - A incógnita a ser isolada é
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a
. Lembrete importante:
depende de
, então ao diferenciar expressões com
usa-se a regra da cadeia. Isto é, se tiver
, a derivada é
.
Aplicando a derivação termo a termo:
Calcule cada derivada separadamente:
Portanto, após derivar obtemos a equação:
Passo 3
Agora isolamos
. Primeiro passamos o termo com
para o outro lado:
Para encontrar
, multiplicamos ambos os lados pelo inverso de
, que é
:
Fazendo a multiplicação e simplificando os fatores numéricos:
Passo 4
Interpretação final e dica prática: a derivada encontrada dá a inclinação da tangente à curva definida implicitamente pela equação. Uma forma rápida de lembrar o padrão para elipses da forma
é que
porque o cálculo segue exatamente os mesmos passos feitos aqui. No caso dado,
e
, levando a
.