(Derivação implícita, logarítmica e de hiperbólicas) Encontre a derivada
em cada item abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada
.
Informações importantes extraídas do enunciado:
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A variável é
. - A função envolve
tanto na base quanto no expoente. - A expressão contém
quando aparecemos com logaritmos; portanto o domínio natural para o processo que vamos usar exige .
A partir daqui vamos calcular.
Passo 2
Vamos escrever a função de forma mais simples para manipular: defina
. Agora usamos uma técnica que serve bem quando a variável aparece no expoente e na base ao mesmo tempo: tomar o logaritmo natural dos dois lados para transformar potências em produtos. Aplicando
em ambos os lados:
Usamos a propriedade dos logaritmos
. Assim:
Passo 3
Agora vamos derivar implicitamente ambos os lados em relação a
. Antes de derivar, relembre duas regras que usaremos:
- Derivada do logaritmo: a derivada de
é . Em particular, , porque é função de . - Regra do produto: se
e são funções, .
Derivando
obtemos
. Do lado direito temos produto
. Calculemos a derivada desse produto:
-
. -
.
Aplicando a regra do produto:
Portanto a derivada implícita dá:
Passo 4
Isolamos
multiplicando os dois lados por
:
Lembre que
, então substituímos:
Passo 5
Fazemos uma simplificação algébrica para deixar a resposta mais compacta. Observe que
. Então
Substituindo na expressão de
:
Essa é uma forma simplificada e equivalente à expressão obtida no passo anterior.