(Derivação implícita, logarítmica e de hiperbólicas) Encontre a derivada f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x} em cada item abaixo.
f(x)=x^{\sqrt{x}} \quad x^{\sqrt{x}}\left(\frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{x}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{\sqrt{x}}
e pede a derivada \displaystyle f'(x)=\frac{dy}{dx}.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A variável é x.
  • A função envolve x tanto na base quanto no expoente.
  • A expressão contém \ln(x) quando aparecemos com logaritmos; portanto o domínio natural para o processo que vamos usar exige x>0.
    A partir daqui vamos calcular f'(x).

Passo 2

Vamos escrever a função de forma mais simples para manipular: defina y=f(x)=x^{\sqrt{x}}. Agora usamos uma técnica que serve bem quando a variável aparece no expoente e na base ao mesmo tempo: tomar o logaritmo natural dos dois lados para transformar potências em produtos. Aplicando \ln em ambos os lados:
\ln(y)=\ln\!\bigl(x^{\sqrt{x}}\bigr).
Usamos a propriedade dos logaritmos \ln(a^b)=b\ln(a). Assim:
\ln(y)=\sqrt{x}\,\ln(x).

Passo 3

Agora vamos derivar implicitamente ambos os lados em relação a x. Antes de derivar, relembre duas regras que usaremos:
  • Derivada do logaritmo: a derivada de \ln(u(x)) é \dfrac{u'(x)}{u(x)}. Em particular, \dfrac{d}{dx}\ln(y)=\dfrac{y'}{y}, porque y é função de x.
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, \dfrac{d}{dx}\bigl(u v\bigr)=u'v+uv'.
Derivando \ln(y) obtemos \dfrac{y'}{y}. Do lado direito temos produto \sqrt{x}\cdot\ln(x). Calculemos a derivada desse produto:
  • \dfrac{d}{dx}\sqrt{x}=\dfrac{d}{dx}x^{1/2}=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
  • \dfrac{d}{dx}\ln(x)=\dfrac{1}{x}.
Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x}\,\ln(x)\bigr)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\ln(x)+\sqrt{x}\cdot\frac{1}{x}.
Portanto a derivada implícita dá:
\frac{y'}{y}=\frac{\ln(x)}{2\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{x}.

Passo 4

Isolamos y' multiplicando os dois lados por y:
y' = y\left(\frac{\ln(x)}{2\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{x}\right).
Lembre que y=x^{\sqrt{x}}, então substituímos:
y' = x^{\sqrt{x}}\left(\frac{\ln(x)}{2\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{x}\right).

Passo 5

Fazemos uma simplificação algébrica para deixar a resposta mais compacta. Observe que \dfrac{\sqrt{x}}{x}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}. Então
\frac{\ln(x)}{2\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{\ln(x)}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{\ln(x)+2}{2\sqrt{x}}.
Substituindo na expressão de y':
y'=x^{\sqrt{x}}\cdot\frac{\ln(x)+2}{2\sqrt{x}}.
Essa é uma forma simplificada e equivalente à expressão obtida no passo anterior.

Resposta

f'(x)=x^{\sqrt{x}}\left(\frac{\ln(x)}{2\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{x}\right)=x^{\sqrt{x}}\frac{\ln(x)+2}{2\sqrt{x}}

Exercícios relacionados