(Derivação implícita, logarítmica e de hiperbólicas) Encontre a derivada f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x} em cada item abaixo. y=\ln (\operatorname{cosh} (x))+\operatorname{arcsenh}(\operatorname{tg}(x)) \operatorname{tgh}(x)+|\operatorname{sec} (x)|
Vou entender \operatorname{arcsenh}(u)=\operatorname{arcsinh}(u) (inversa da função \operatorname{sinh}).
O que tenho que fazer: derivar termo a termo, cuidando das regras necessárias (regra da cadeia, regra do produto e derivada do valor absoluto). Anotar também as restrições de domínio onde a derivada existe (por exemplo onde \cos x=0 a função envolvida tem problemas).
Passo 2
Derivada do primeiro termo \ln\bigl(\operatorname{cosh}(x)\bigr).
Breve lembrete: \operatorname{cosh}(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}, \operatorname{sinh}(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2} e \operatorname{tanh}(x)=\dfrac{\operatorname{sinh}(x)}{\operatorname{cosh}(x)}.
Passo 3
Derivada do termo do meio \operatorname{arcsinh}\bigl(\tan(x)\bigr)\,\operatorname{tanh}(x).
Observação final: todas as manipulações com |\operatorname{sec}(x)| e com \sqrt{\operatorname{sec}^2(x)} exigem atenção aos pontos onde \operatorname{sec}(x)=0 (isto é, onde \cos x=0); nesses pontos a função original ou suas derivadas podem não estar definidas.