(Derivação implícita, logarítmica e de hiperbólicas) Encontre a derivada f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x} em cada item abaixo.
y=\ln (\operatorname{cosh} (x))+\operatorname{arcsenh}(\operatorname{tg}(x)) \operatorname{tgh}(x)+|\operatorname{sec} (x)|

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\ln\bigl(\operatorname{cosh}(x)\bigr)+\operatorname{arcsenh}\bigl(\operatorname{tg}(x)\bigr)\,\operatorname{tgh}(x)+\bigl|\operatorname{sec}(x)\bigr|
e pede a derivada f'(x)=\dfrac{dy}{dx}.
Observações de notação (para não confundir):
  • Vou entender \operatorname{tg}(x)=\tan(x).
  • Vou entender \operatorname{tgh}(x)=\operatorname{tanh}(x).
  • Vou entender \operatorname{arcsenh}(u)=\operatorname{arcsinh}(u) (inversa da função \operatorname{sinh}).
O que tenho que fazer: derivar termo a termo, cuidando das regras necessárias (regra da cadeia, regra do produto e derivada do valor absoluto). Anotar também as restrições de domínio onde a derivada existe (por exemplo onde \cos x=0 a função envolvida tem problemas).

Passo 2

Derivada do primeiro termo \ln\bigl(\operatorname{cosh}(x)\bigr).
Regra usada: \dfrac{d}{dx}\ln(u(x))=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui u(x)=\operatorname{cosh}(x). Sabendo que \dfrac{d}{dx}\operatorname{cosh}(x)=\operatorname{sinh}(x), obtemos
\frac{d}{dx}\ln\bigl(\operatorname{cosh}(x)\bigr)=\frac{\operatorname{sinh}(x)}{\operatorname{cosh}(x)}=\operatorname{tanh}(x).
Breve lembrete: \operatorname{cosh}(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}, \operatorname{sinh}(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2} e \operatorname{tanh}(x)=\dfrac{\operatorname{sinh}(x)}{\operatorname{cosh}(x)}.

Passo 3

Derivada do termo do meio \operatorname{arcsinh}\bigl(\tan(x)\bigr)\,\operatorname{tanh}(x).
Este é um produto A(x)B(x) com
A(x)=\operatorname{arcsinh}\bigl(\tan(x)\bigr),\qquad B(x)=\operatorname{tanh}(x).
Usar a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(A(x)B(x)\bigr)=A'(x)B(x)+A(x)B'(x).
Primeiro A'(x). Regra da cadeia + derivada da arcsinh:
\frac{d}{du}\operatorname{arcsinh}(u)=\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}.
Tomando u=\tan(x) e u'=\operatorname{sec}^2(x), temos
A'(x)=\frac{\operatorname{sec}^2(x)}{\sqrt{1+\tan^2(x)}}.
Agora aplicar a identidade trigonométrica 1+\tan^2(x)=\operatorname{sec}^2(x). Assim
\sqrt{1+\tan^2(x)}=\sqrt{\operatorname{sec}^2(x)}=|\operatorname{sec}(x)|.
Portanto
A'(x)=\frac{\operatorname{sec}^2(x)}{|\operatorname{sec}(x)|}=|\operatorname{sec}(x)|,
onde se usou que \dfrac{\operatorname{sec}^2}{|\operatorname{sec}|}=| \operatorname{sec}| (o quadrado torna positivo antes da raiz).
Agora B'(x). Sabendo que \dfrac{d}{dx}\operatorname{tanh}(x)=\operatorname{sech}^2(x)=\dfrac{1}{\operatorname{cosh}^2(x)}, obtemos
B'(x)=\operatorname{sech}^2(x).
Substituindo na regra do produto:
\frac{d}{dx}\Bigl(\operatorname{arcsinh}(\tan x)\,\operatorname{tanh} x\Bigr) =|\operatorname{sec}(x)|\,\operatorname{tanh}(x)+\operatorname{arcsinh}(\tan x)\,\operatorname{sech}^2(x).

Passo 4

Derivada do terceiro termo \bigl|\operatorname{sec}(x)\bigr|.
Usar a derivada do valor absoluto: se u(x)\neq0 então
\frac{d}{dx}|u(x)|=\operatorname{sgn}\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x),
onde \operatorname{sgn}(u)=\dfrac{u}{|u|}.
Aqui u(x)=\operatorname{sec}(x) e u'(x)=\operatorname{sec}(x)\tan(x). Logo, para \operatorname{sec}(x)\neq0,
\frac{d}{dx}\bigl|\operatorname{sec}(x)\bigr| =\operatorname{sgn}\bigl(\operatorname{sec}(x)\bigr)\,\operatorname{sec}(x)\tan(x) =\frac{\operatorname{sec}(x)}{|\operatorname{sec}(x)|}\,\operatorname{sec}(x)\tan(x).
Simplificando \dfrac{\operatorname{sec}^2(x)}{|\operatorname{sec}(x)|}=|\operatorname{sec}(x)| (mesmo raciocínio do passo anterior), obtemos
\frac{d}{dx}\bigl|\operatorname{sec}(x)\bigr|=|\operatorname{sec}(x)|\,\tan(x),
válido para pontos onde \operatorname{sec}(x) está definida (ou seja \cos x\neq0).

Passo 5

Somando as derivadas de cada termo (derivada é linear), obtemos
\frac{dy}{dx}=\operatorname{tanh}(x) +\Bigl(|\operatorname{sec}(x)|\,\operatorname{tanh}(x)+\operatorname{arcsinh}(\tan x)\,\operatorname{sech}^2(x)\Bigr) +|\operatorname{sec}(x)|\,\tan(x).
Podemos reescrever agrupando termos semelhantes:
\frac{dy}{dx}=\operatorname{tanh}(x)+|\operatorname{sec}(x)|\,\operatorname{tanh}(x)+\operatorname{arcsinh}(\tan x)\,\operatorname{sech}^2(x)+|\operatorname{sec}(x)|\,\tan(x).
Observação final: todas as manipulações com |\operatorname{sec}(x)| e com \sqrt{\operatorname{sec}^2(x)} exigem atenção aos pontos onde \operatorname{sec}(x)=0 (isto é, onde \cos x=0); nesses pontos a função original ou suas derivadas podem não estar definidas.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\operatorname{tanh}(x)+|\operatorname{sec}(x)|\,\operatorname{tanh}(x)+\operatorname{arcsinh}\bigl(\tan(x)\bigr)\,\operatorname{sech}^2(x)+|\operatorname{sec}(x)|\,\tan(x).

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