Derivada da função cosseno:
f(x)=\cos (u)
f^{\prime}(x)=-\operatorname{sen}(u) \cdot u^{\prime}

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a derivada da função \;f(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr)\;, onde u é uma função de x.
Informações dadas (explícitas ou implícitas): \;u=\!u(x)\; é uma função diferenciável de x (ou seja, \;u'(x)\; existe).
Pedido final: escrever f'(x) em termos de u(x) e u'(x).

Passo 2

Lembrando a definição de derivada (ideia que vamos usar): para uma função g diferenciável em x,
g'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}.
Também usaremos limites trigonométricos fundamentais:
\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{h\to 0}\frac{1-\cos h}{h}=0.
Esses limites são padrões e você deve memorizá‑los; eles aparecem sempre nas derivadas de funções trigonométricas.

Passo 3

Primeiro vamos derivar \cos t em relação a t (a variável intermediária). Ou seja, vamos mostrar que
\frac{d}{dt}\cos t = -\sin t.
Começamos pela definição:
\frac{d}{dt}\cos t=\lim_{h\to0}\frac{\cos(t+h)-\cos t}{h}.
Usamos a identidade trigonométrica para diferença de cossenos:
\cos(t+h)-\cos t = -2\sin\!\left(t+\tfrac{h}{2}\right)\sin\!\left(\tfrac{h}{2}\right).
Dividindo por h,
\frac{\cos(t+h)-\cos t}{h} = -\sin\!\left(t+\tfrac{h}{2}\right)\cdot\frac{\sin\!\left(\tfrac{h}{2}\right)}{\tfrac{h}{2}}.
Ao fazer h\to 0, temos \sin\!\bigl(t+\tfrac{h}{2}\bigr)\to\sin t e \dfrac{\sin(\tfrac{h}{2})}{\tfrac{h}{2}}\to 1 (por \lim_{z\to0}\dfrac{\sin z}{z}=1). Então o limite é
\frac{d}{dt}\cos t = -\sin t.
Portanto a derivada do cosseno em relação à sua variável é -\sin dessa variável.

Passo 4

Agora queremos a derivada de \cos\bigl(u(x)\bigr) em relação a x. A ideia principal é separar a variação em duas partes: a variação do cosseno em relação à sua própria entrada e a variação da entrada u em relação a x. Formalmente, considere
f(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr).
Para h pequeno, defina \Delta u = u(x+h)-u(x). Então
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\cos\bigl(u(x)+\Delta u\bigr)-\cos\bigl(u(x)\bigr)}{h}.
Reescreva como produto:
\frac{\cos\bigl(u+\Delta u\bigr)-\cos u}{h} = \underbrace{\frac{\cos\bigl(u+\Delta u\bigr)-\cos u}{\Delta u}}_{A} \cdot \underbrace{\frac{\Delta u}{h}}_{B},
onde, por simplicidade, escrevemos u no lugar de u(x). Agora, quando h\to 0 temos \Delta u\to 0. Pelo resultado do Passo 3, o fator A tende a -\sin u. O fator B tende a u'(x) por definição de derivada de u. Portanto o produto tende a
-\sin u \cdot u'(x).
Isso é a prova da regra usada a seguir.

Passo 5

Resultado aplicado: a derivada de \;f(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr)\; é
f'(x) = -\sin\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui cada símbolo significa:
  • \sin\bigl(u(x)\bigr) é o seno da função u(x);
  • u'(x) é a derivada da função u em relação a x;
  • o produto -\sin(u(x))\cdot u'(x) é a multiplicação dos dois fatores.

Passo 6

Exemplos práticos (para você treinar na prova):
Exemplo 1: se u(x)=3x, então
f(x)=\cos(3x)
e
f'(x) = -\sin(3x)\cdot 3 = -3\sin(3x).
Exemplo 2: se u(x)=x^2, então
f(x)=\cos(x^2)
e
f'(x) = -\sin(x^2)\cdot 2x = -2x\sin(x^2).
Esses exemplos mostram a mecânica: primeiro avalie o seno na entrada u(x), depois multiplique pela derivada u'(x).

Passo 7

Dicas rápidas para a prova:
  • Sempre identifique a “função interna” u(x) e a “função externa” \cos(\cdot).
  • Lembre-se: derivada do cosseno da variável é -\sin dessa variável.
  • Não esqueça de multiplicar por u'(x) — esse é o passo que muitos esquecem quando têm pressa.
  • Treine com u(x) simples (linear, quadrática, polinomial) até ficar automático.

Resposta

\;f'(x)=-\sin\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)\;

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