Derivada da função tangente:
Passo 1
O enunciado dá a função
onde
é uma função de
(isto é,
) e pede a derivada
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Temos
. - Queremos
em termos de e de .
Não há outras condições explícitas, apenas assumir queé diferenciável.
Passo 2
Escolha do método: vou escrever
como quociente
e aplicar a regra do quociente combinada com a regra da cadeia. Motivo:
transforma o problema numa aplicação direta de fórmulas básicas (derivadas de
e
, regra do quociente e regra da cadeia). É um caminho curto, direto e que funciona sempre sem cálculo pesado.
Passo 3
Lembrete das regras que usaremos (com explicação simples):
- Regra do quociente: se
então
Aqui
e
são funções de
. A fórmula combina as derivadas de numerador e denominador.
- Regra da cadeia: se
então
Isto diz que derivamos a função externa
avaliando em
e multiplicamos pela derivada da função interna
.
- Derivadas básicas:
e , aplicadas a devem usar a regra da cadeia.
Passo 4
Escrevo
. Defino
Agora calculo
e
usando a regra da cadeia:
pois derivada de
em relação a
é
vezes
.
pois derivada de
é
vezes
.
Passo 5
Aplico a regra do quociente:
Substituindo
:
Observe o numerador com fator comum
:
Usando a identidade trigonométrica fundamental
, isso vira simplesmente
. Portanto
Passo 6
Transformo
em
(definição de secante:
). Assim
Essa é a fórmula final. É a forma padrão que você vai aplicar na prova quando tiver uma tangente de uma função qualquer.
Passo 7
Exemplos rápidos para fixar (faça mentalmente na prova):
- Se
então e . - Se
então e .
Dica: identifique sempre a função interna, calcule e multiplique por da função interna.