Derivada da função tangente:
f(x)=\tan (u)
f^{\prime}(x)=\operatorname{sec} ^{2}(u) \cdot u^{\prime}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\tan(u) onde u é uma função de x (isto é, u=u(x)) e pede a derivada f'(x).
Informações relevantes:
  • Temos f(x)=\tan(u(x)).
  • Queremos f'(x) em termos de u e de u'(x).
    Não há outras condições explícitas, apenas assumir que u(x) é diferenciável.

Passo 2

Escolha do método: vou escrever \tan como quociente \sin/\cos e aplicar a regra do quociente combinada com a regra da cadeia. Motivo: \tan(u)=\dfrac{\sin(u)}{\cos(u)} transforma o problema numa aplicação direta de fórmulas básicas (derivadas de \sin e \cos, regra do quociente e regra da cadeia). É um caminho curto, direto e que funciona sempre sem cálculo pesado.

Passo 3

Lembrete das regras que usaremos (com explicação simples):
  • Regra do quociente: se G(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)} então
G'(x)=\frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}.
Aqui g e h são funções de x. A fórmula combina as derivadas de numerador e denominador.
  • Regra da cadeia: se y(x)=F(v(x)) então
y'(x)=F'(v(x))\cdot v'(x).
Isto diz que derivamos a função externa F avaliando em v(x) e multiplicamos pela derivada da função interna v'(x).
  • Derivadas básicas: \dfrac{d}{dx}\sin(t)=\cos(t) e \dfrac{d}{dx}\cos(t)=-\sin(t), aplicadas a t=u(x) devem usar a regra da cadeia.

Passo 4

Escrevo \tan(u)=\dfrac{\sin(u)}{\cos(u)}. Defino
g(x)=\sin(u(x)),\qquad h(x)=\cos(u(x)).
Agora calculo g'(x) e h'(x) usando a regra da cadeia:
g'(x)=\cos(u(x))\cdot u'(x)
pois derivada de \sin(u) em relação a x é \cos(u) vezes u'.
h'(x)=-\sin(u(x))\cdot u'(x)
pois derivada de \cos(u) é -\sin(u) vezes u'.

Passo 5

Aplico a regra do quociente:
f'(x)=\frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}.
Substituindo g,g',h,h':
f'(x)=\frac{\big(\cos(u)\cdot u'\big)\cos(u)-\sin(u)\big(-\sin(u)\cdot u'\big)}{\cos^{2}(u)}.
Observe o numerador com fator comum u':
\text{numerador}=u'\big(\cos^{2}(u)+\sin^{2}(u)\big).
Usando a identidade trigonométrica fundamental \sin^{2}(u)+\cos^{2}(u)=1, isso vira simplesmente u'. Portanto
f'(x)=\frac{u'}{\cos^{2}(u)}.

Passo 6

Transformo \dfrac{1}{\cos^{2}(u)} em \operatorname{sec}^{2}(u) (definição de secante: \operatorname{sec}(t)=1/\cos(t)). Assim
f'(x)=\operatorname{sec}^{2}(u)\cdot u'(x).
Essa é a fórmula final. É a forma padrão que você vai aplicar na prova quando tiver uma tangente de uma função qualquer.

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar (faça mentalmente na prova):
  • Se u(x)=x então u'(x)=1 e f'(x)=\operatorname{sec}^{2}(x).
  • Se u(x)=3x^{2} então u'(x)=6x e f'(x)=\operatorname{sec}^{2}(3x^{2})\cdot 6x.
    Dica: identifique sempre a função interna u(x), calcule u'(x) e multiplique por \operatorname{sec}^{2} da função interna.

Resposta

f'(x)=\operatorname{sec}^{2}(u)\cdot u'(x)

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